CHAPITRE XIV. — FRACTIONS CONTINUES

V,n-i comme consécutifs. A cet eftet, de l'équation (3), prise successivement pour m cl ni -\- \ , on conclut, par élimination de V,„,

On y joindra la relation

et les égalités (7), (8) remplaceront l'équation récurrente pour deux indices exceptionnels. Les deux coefficients [j' et 'y.m'^m^i sont les produits de (c — z-aY par des quantités indépendantes de z, et a' est un trinôme du second degré. Les coefficients a' et ^' peuvent être obtenus directement par le procédé indiqué pour «m et '^ni. Si on les déduit de l'élimination, comme on vient de le dire, ils se présentent sous la forme

(9) a'= lim(a,„a,„4-i-f- p,„+i), P' = lima,„+i |3,„.

Si le cas exceptionnel se présente deux fois, il y a périodicité. En eflfet, la relation (6) ayant lieu pour deux indices m et m' , on en conclut que (m — m')[ia -h v) est une période. Quand il en est ainsi, on supprime, dans la suite des V, une série de termes équidistants.

Pour une période de trois termes, les suppressions en laissent subsister deux seulement; les V sont alternativement liés parles relations (7) et (8). Mais, pour une période de deux termes, c'est-à-dire si ia-\- v est une demi-période, Ym-2 doit être supprimé et l'équation (7) se remplace par celle-ci

oij fXm est indépendant de m. La relation (8) disparaît, et les fonctions V dont les indices ont la même parité que m sont liées aussi par la même relation

En effet, dans l'un ou l'autre cas, les trois fonctions \ sont des termes consécutifs dans deux progressions géométriques, de raison commune.

11 n'existe point d'autres cas où les quantités a, [3 puissent être nulles ou infinies : d'après notre analyse, fondée sur l'ordre de multiplicité de la racine a dans les fonctions V, une telle circonstance ne peut se produire que si cet ordre devient exceptionnel, et c'est justement ce cas que nous venons d'examiner. Ces exceptions s'offrent sous la même forme et avec les mêmes conséquences quand on suppose « = o ou i- .-= o.

Fractions continues.

Au lieu de la notation habituelle

qui occupe trop de place, nous prendrons celle-ci : a '.h -\- c \ <-/ -4- e : / -7- . . . .

De l'équation récurrente (3) on conclut V / \^

^ in — 1 \ ^ ni-l

et, par conséquent,

UU — V ~ r!^- • ''^^- ~ rP-+i • ^(^•+1 ^-- ■ --^ p/«