IX

Cette fraction continue peut être prolongée indéfiniment et, à ce point de vue, sa convergence sera ultérieurement étudiée. Indépendamment de la convergence, elle a une signification algébrique bien déterminée, qui la caractérise complètement. Les quantités V sont des fonctions de la variable x; ; le quotient V,„ '. V„j i, qui a la racine double u = a, est infiniment petit du second ordre par rapport à l'infiniment petit z — Za', enfin les dénominateurs et numérateurs successifs a, [i ont les formes (a). La fraction continue (il) est donc celle qu'on trouve en prenant successivement des dénominateurs a du premier degré, de manière à obtenir, dans

rilAlMTnE XIV. — TRACTIONS CONTIMES. 583

cliaquc opéralioii, une approximation dont rordrc croisse cori-

stammciil de deux unilés rclalivenieiU à l'inliniinenl petit ; — c„.

Pour le cas où a est nul, la même conclusion doit être prise à

l'égard de riMlninnent pclil -•

De la même éc[ualion récurrente (3) ou conclut aussi

ce qui conduit encore à une fraction continue; les indices vont en diminuant. Mais cette fraction semble dépourvue de toute si-

L^nification algébrique, puisque le terme ^m'. ^r"'~' reste fini pour

11 = a. Observons cependant que le changement de u en —a — r n'altère pas z. Par ce changement, les V se changent en d'autres fonctions A ', qui ne deviennent pas nulles pour u = «, et qui satisfont aussi à l'équation récurrente (3). Il y a donc lieu de considérer, au [)oint de vue algébrique, la fraction

Comme la précédente, elle est caractérisée par les approximations successives qu'elle fournit, relativement à l'infiniment petit :: — Za, pour la fonction qui figure au premier membre (12).

La variable z acquiert une seule et même valeur pour deux valeurs différentes, u et — u — t», de l'argument. V est donc une fonction ambiguë de z-. En prenant simultanément les deux fractions continues (11, 12), on doit entendre que les premiers membres sont les deux déterminations d'une seule et même fonction.

On doit maintenant comprendre comment le coefficient C^ n'a qu'une inlluence de pure forme. Ce coefficient, étant indépendant de «, modifie les premiers membres (11, 12) par des facteurs indépendants de z. L'altération qu'il produit sur les quantités a,„, P„j est donc de telle nature qu'on puisse la faire disparaître en multi|)liant la fraction continue par un facteur indépendant de z. Ainsi le choix de C,u est sans inOuence véritable sur la fraction continue.

Addition d'une constante à l'indice.

Lindicc ;i parllr duquel on lait commencer les fractions continues (ii, 12) n'influe, en aucune façon, sur le caractère général de ces fractions. IMoyennant un changement de l'argument iv, on peut prendre l'indice à volonté; ou bien, si on laisse cet indice arbitraire, on peut limiter l'argument w.

Pour le montrer, à la place de m et w, mettons m, et (V), en posant

.(i3) mi= m — h, tv, = tv — h{ia-^ç).

On aura

y m ( iv ) rcf-(a — u):r(Ui-r- v)cfuil'>^

rapport indépendant de m. On obtient donc, avec «v, ou avec w, les mêmes fonctions a,„, ^,n; leurs indices seulement sont diminués de h unités.

Voici un exemple où il est commode de limiter, par cette proposition, l'argument (P. Supposons le cas exceptionnel où la relation (6) a lieu pour un indice A", c'est-à-dire

A(2a-f-p) — a — i> — w = une période. On en déduit

(A- — h){ia -^ v) — a — v — wi= une période.

Prenant /r = A et altérant <V) d'une période, nous voyons que, sans aucune restriction, on peut caractériser toujours ce cas exceptionnel par la condition

C'est ce que nous ferons désormais.

Inversion de la fraction continue.

Voici maintenant un autre changement de m et de w. Il consiste à prendre m' et w\ liés à m et «' par les relations