CHAPITRE XIV. — FRACTIONS CONTINUES

Dans l'une des fonctions V, on mcllra l'argument u cl, dans l'autre, l'argument — u — t', ce que nous indiquons, comme plus haut, par les notations V et V. La somme des arguments

K -i- 2 ma — inv — iv et — u — v -r- :>. ni a -i- ni v — w'

est nulle, en sorte que les deux fonctions ont déjà un facteur commun. C'est ce qui arrive aussi dans les deux constantes C„i et C,„ pour les facteurs analogues. Ces facteurs supprimés, il reste

(i5) V,„((v) = (- i)"'c<2"'-' V'^.Ctv'),

t désignant la quantité z — z-a, à un facteur constant près indépendant de /??, comme c l'est aussi :

3'(if — a) 3'(a -f- a -4- f ) 3'Mi ^(«i -1- f ) z — Za (i6) /= 7^

ii{Ui — a)j(«i-f-a-i-t')a'w3'(M-i-p) t(^i — Za)

En mettant, dans l'équation récurrente, l'expression (i5) de \m, on a

t'*\',n>i^v') -^ a,„f2V',„,+,((i^') = 3/„V',„,+ ,(iv').

Soient maintenant a',„. et [3„j les quantités analogues à a„, et ^„j, mais relatives à <ï'; on devra avoir

V'„,,+ 2(«^') = «;„,+ , V',„,+,(w') + 'i^i-+2 V;„,(w'); de là résulte

On en conclut cette inversion de la fraction continue :

{"^m+l -+- HAn-4-2 '' "^in+i-^ pm+3 ■ ^//î+3~t"- • • )•

Ainsi les fractions descendantes (i i) ou ascendantes (i:>) ne sont pas essentiellement distinctes.

Fractions continues symétriques.

L'attenlion est ici appelée sur le cas ir'=w. Ainsi, sous la condition

(17) 2tV + C — n(2« -T- ('))

ont lieu les relations

(,8) ^ = ii..^, ni^ix = n-i-,,

Par la substitution (i3), la relation (17) devient

2U'i H- p = (« — ih){,ia -^ v) = iii{ia -\- c);

/?,' est un entier arbitraire, mais de même parité que n. Quand il est pair, on pourra le supposer égal à — 2, de manière que les relations (18) s'écrivent sous la forme

D'après l'égalité (19), on a, en ce cas, [x étant supposé positif,

(20) ) ;^=«|j-i3ix:a(,.,^-...+ p,:a,

( -t- pi: ao-l- [il : a, ^^2:^2 — ■■•+?[;. :î'!j. -+-••••

La fraction commence par une partie symétrique, dont le milieu est le terme a^.

Quand n est impair, on peut le supposer égal à — i ; les relations (18) sont alors

■'•—ni ^—m *•

et l'on a

-t- 7J . «1 — P2 . ^2 — • • ■ -+- PiJ. • ^a •

CIIAPITUF. Xl\ . — FRACTIONS CONTINUES. 687

La partie symélriquc a pour milieu le terme ^. Pour ce dernier

cas, il faut faire l'observation suivante : la relation (17), avec // = — I , devient

(22rt) 2{a -\- V -h iv)s=o,

ce qui peut avoir lieu de deux manières, (i -^ v -r- »v étant une période ou une demi-période.

Dans la première hvpotlièse, on n'aura pas la forme (22), attendu que c est alors le cas exceptionnel (i4); il s'y présente une légère modification, que nous examinerons plus loin. La forme (22) appartient donc au cas où a -h v ~ w est une demi-période.

Quand la relation de symétrie (i-) a lieu et que, en même temps, il y a périodicité, la symétrie est double; car, /•(2rtH-r) étant une période, la relation (17) a Heu avec le nombre n -+- /•. comme avec le nombre n. Réciproquement, si la svmétrie est double, il y a périodicité; car, la relation (17) ayant lieu avec n et n', on en conclut que {/i — n'){ia 4- v) est une période. Dans un tel cas, la période de la fraction continue est symétrique et les deux modes de symétrie (20) et (22) peuvent exister à la fois.

Forme des fractions continues dans le cas exceptionneL

Le cas exceptionnel (i i) nous offre la relation de symétrie (21); mais il faut observer que le terme \o doit être supprimé et qu'on doit faire intervenir les relations (7, 8) avec m = o. Dans la relation (7),

remj)laçons V,„ par ( — i)'"c/-"'~' Vl,„j, conformément à l'égalité (i5)^ il vient

Se rappelant que l'on a V„ = c-o VI, , on conclut

Le signe de l est à volonté j car on peut, dans l'égalité (16),

mettre — i au lieu de i; Il est donc permis de prendre Nous avons alors, par la formule (12),

' iji— I puis, suivant l'égalité (19),

yT^ = x,-4- ?, :a 2...= -^{'^■1-+- h'-^i-^

Il en résulte

= 2pL-+- Pa:ajA-i-4-...-(- Psi^î

-1- ^ P2 1 x' -4- / P2 : 22 -+- . . . -H ^ jj. : aj;.

Il y a donc encore, en ce cas, une symétrie : le terme du milieu est a', en sorte que ce mode de symétrie se rattache à la forme (20), bien que le nombre n soit impair.

Si, en outre, il y a périodicité, la période est symétrique. En la faisant commencer au quotient incomplet a', on trouve à cette période l'une ou l'autre des formes ci-après, suivant la parité du nombre /■ :

/ a' -+- ? ^2 : «2 -T- . . . -^- pA--i : ^k-i -\- t-:n- } , , , ,

i a' H- / 3, : aj -4- . . . -(- Pa i : ^A-i -+- P/t : «a- )

Dans les cas extrêmes, /• :^ 3 ou ;■ = 4, on a

(24«) ! r=4, Xî =a2-^f!32::i'--^!32:a2+r2:a'

-I- ^p2 : ît'-^ ^^2: «2-+- ^* : ^2-t-

Le cas /== 2, ainsi qu'on l'a déjà fait observer par l'égalité (10),