CHAPITRE XIV. — FRACTIONS CONTINUES. SSg

offre une forme différente, que l'on peut écrire ainsi

V, (246) r = i, ^ = a -I- p : a -+- jB : a -f-. . .;

'0 a est du second degré et ^, à un facteur constant près, est égal à

Développement de — — en fraction continue.

Nous avons maintenant à rechercher les fonctions algébriques qui donnent lieu aux fractions continues précédentes.

Revenons aux formules de l'inversion (t. I, p. 1 18), d'après lesquelles, pour un polynôme quelconque X, du quatrième degré,

on a simultanément

Soit c„i un argument auxiliaire, défini par l'égalité (a5) c„i= {m — i){2a-hv) — v — w.

Les deux fonctions

a'-{a — u) :j(u -t- T.ma -f- mv — w) rï{u — c,,,)

sont, toutes deux, doublement périodiques (de première espèce). Si l'on désigne par j^,„ la valeur de x qui répond à u ^ c,n, B^ n'est autre que x — j'm, à un facteur constant près. Quant à A„i, son expression algébrique a la forme y — ^y/X, y étant un polynôme

du second degré et 0 une constante.

Soit Y,„ ce que devient X, pour x =ym', comme A,„ s'évanouit pour u = Cm, on a

0 désignant un polynôme du premier degré en .r. Soit K,„ un cocfficienl indépendant de x; soit aussi p,n un polynôme du premier degré : on peut conclure à une égalité de cette forme

car A,„ : \^ni ne diffère de Y m '. ^ m-\ que par le facteur C^ : Cm-\, indépendant de x.

Soit \ la valeur de x pour u = a. Les quantités [3 sont les produits de [x — i)- par des coefficients indépendants de x; les a sont des polynômes du premier degré en x^ et la fraction continue (1 1), qui donne

(28) = Pm"T- K„; p„j+i ; 2/,,+! -i- p,„4-2 I X,„+2-T-...,

foui-nit le développement régulier du premier membre. Semblablement, la fraction continue (12) fournit le développement de la même fonction, mais prise avec sa seconde détermination, ou, si

1 on veut, le développement de ^

Ainsi, d'une manière générale, X étant un polynôme du quatrième degré et Y ce même polynôme où. y remplace x, s'il s'agit de développer

en une fraction continue dont la /i"^""^ réduite, avec un numérateur du degré n et un dénominateur du degré ii — i, reproduise, jusqu'à l'ordre an exclusivement, le développement de la fonction suivant les puissances ascendantes de :r — ç^ cette fraction continue appartient à la classe que nous avons ici considérée. Quand nous aurons, un peu plus loin, donné l'expression des quantités ^■m et ^„j, il sera établi que le calcul des quotients incomplets, pour une telle fraction continue, coïncide avec celui des formules pour la multiplication de l'argument dans les fonctions elliptiques. Voici d'ailleurs une proposition générale qui peut déjà le faire comprendre.