CHAPITRE XIV. — FRACTIONS CONTINUES. OQ I

l'rcnons deux indices différents m et n cl déduisons, de la formule (-^5), celle-ci

Cm— Cn — {/n — /l)(2rt -r- v).

Kappclons-nous c|uc — .• r est l'argument qui correspond à une racine Xq de X et, désignant par [j. la différence m — n, mettons y etj', au lieu de )',„et )„. La relation entre c,„ et c^ peut s'écrire ainsi

et nous voyons que l'égalité ('^9), où ^désigne un nombre enlicv quelconque et x^ une racine <ieX, exprime la condition sous laquelle les fractions continues (précédemment définies), qui servent à déi-eloppcr

(3o) î— et * TT— )

se terminent par les mêmes quotients. On ne doit pas perdre de vue, dans un tel énoncé, la théorie des intégrales définies, d'après laquelle chacune des intégrales n'est déterminée qu'à une période près. C'est pourquoi le changement de la racine.ro n'altère pas l'égalité (29). A peine est-il besoin d'ajouter que, dans les quantités (3o), y/Y et ^/Y' doivent être pris avec les signes qui sont supposés aux deux extrémités de l'intégrale (29).

Il y a diverses observations à faire à propos des valeurs particulières qu'on peut supposer pour les arguments. On a déjà vu que l'hypothèse a = o corresj>ond à ^ = 00 j les numérateurs [ii des fractions continues sont alors des constantes. On ne peut supposer que ia -\- V soit une période ; les fractions continues disparaîtraient par celte hypothèse. Cette impossibilité apparaît nettement dans le problème algébrique : on ne peut, dans les approximations, remplacer la fonction (3o) par des fonctions rationnelles quand H est une racine de X.

L'hypothèse r = o réduit X au troisième degré ; elle est incompatible avec l'hypothèse a = o, pour la môme raison. Quand X est du troisième degré, on peut supposer j"o infinie.

Le cas de périodicité peut être caractérisé par la condition

(ji) 2rl -^ = une période;

si /■ est un nombre entier, à ce clioix de ^ correspond, quel que soit r, une fraction continue périodique, où la période se compose de /• termes.

II V a maintenant à signaler d'autres cas qui offrent des particularités à l'égard de la quantité y. Nous allons les examiner.

Cas de la symétrie.

Voyons d'abord à quel choix de y correspond la symétrie paire, caractérisée par la relation (17), où n est un nombre pair, qu'on peut prendre égal à — 2. Ayant alors

(32) aW-ht^SE — 2(2rt-4-P),

on en conclut, d'après (20),

2 Co H- r = — 4 « — 2 (r — 3 1» s= o.

Cette égalité montre que j'o coïncide avec une racine Xq de X, en sorte que l'o est alors nul. Mettons le développement (28) sous la forme

po-)-Koao= Ko(3to-+- Pi : «1-^ P2 : «2 + . • •)•

X Xo

Prenons aussi le développement (12), qui nous donne, avec y- =1,

X — Xq

-4- po= Ko(au+ i3o : a i-h p, : a-, -h. ..)•

Les deux fractions continues coïncident ici, comme il résulte de la relation de symétrie(i9). Ainsi jTo étant une racine de 1^^ le développement (où Ko est une constante)

s'obtient en supposant w choisi conformément à V égalité (Sa).

CIIAPITKE XIV. — FUACTIONS CONTINUES. 5q3

En second lieu, comme conséquence de la relation (lîpi, nous voyons que, si l'on choisit y jxir f" condilioii

r^ dx r '-■ cLv

en siipposiint u. entier et positif , la fraction continue (28) commence ])(ir une partie symétrique et L'ona, suivanL l'cgalilé (20),

' ' ~ - a — 3 : y-jo. -1 -1- 3(^.^1 : a^, — . . .

La symélrie impaire, caractérisée par l'égalité (22 a), doit être considérée eoninie définie par la condition cjue « -h f — (v soit une demi-période; Tautre cas, où cette quantité est une période, devant être envisagé séparément. Ayant, suivant la relation (lo),

on en conclut, C désignant une constante,

v^\ - v/y; \ /Vx + v/y; , \ .., ,., ^. . . .,

Désignons pary ce trinôme du second degré,

/= V^^'o-- ?(>C-^— J'oK C'est donc en mettant X sous la forme

^^^f^-Cyx-'^fix-y.Y

qu'on trouve la quantité^ o- D'autre part, d'après (25 ), c^y- a. + v est une demi-période; on en conclut cette autre forme pour la détermination dej'o

r^" dx T' dx

Xo et x'q désignent deux racines de X, difj'èrenlcs entre elles. Ce choix de j',, n'apporte d'ailleurs aucun caractère qu'il faille II. 38

Sp^ DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

iiolor dans la iVaclion conlimic. Mais, en prcnani j' avec un indice négatif, nous trouverons une fraction commençant par une partie symcMriquc, comme rindi(]ue cet énoncé : si /'on choisit y par la condition

r-'' tir r^ da;

où <j. est entier et positif, on a cette forme de fraction conti- /ii/e (22)

Dans cet énoncé, le signe de y Y est fixé par le dernier élément de l'intégrale prise au premier membre; de même, y/X, envisagé ici ])Our X infiniment voisin de ^, a un signe déterminé, celui du dernier élément de l'intégrale qui figure au second membre.

A peine est-il besoin d'ajouter que la symétrie n'exclut pas la périodicité; ces deux caractères peuvent se rencontrer à la fois dans les fractions que nous venons d'envisager.

Développement de v/-^ — ^/a^x^.

Supposons que l'argument c,„ soit égal à zéro ou à — c, ce qui rend j/H infini. Au lieu de l'égalité (26), on a celle-ci :

ï — ^ \/aox^ = 0 ;

il en résulte, à la place de l'égalité ('^7), cette autre

Ainsi ^ X — y/rt,,^" est la forme analytique qui remplace la forme générale (3o) quand on suppose j^ infini. Dès lors, nous savons interpréter les résultats précédents avec l'hypothèse j' = 00 et nous avons seulement à signaler le choix que l'on peut faire de