CHAPITRE XIV. — FRACTIONS CO.NTINUES. SqS

rari;iiincnl «v jiour oblciur la fraction continue correspondantp. 11 sulliru de prendre (v = o ; on a, de la sorte, c, = — i'. Mais ce développement ollcc un intérêt spécial quand X est du troisième degré. Le coefficient «„ est alors nul; il s'agit donc d'un développement régulier de y X en une fraction continue, conforme à la définition générale qu'on a vue précédemment. Nous allons nous y arrêter.

Premier développement de /X , X étant du troisième degré.

Au lieu de prendre a> = o, il sera mieux de choisir (v = — 2«, ce qui revient au même, comme on le sait par la règle (i3^ d'addition d'une constante à l'indice. C'est alors Cq qui est nul, v étant nul lui-même.

On trouve ici la symétrie paire (3^). En appliquant donc la formule (33), nous avons

Ce développement est périodique quand 2ra est égal à une période. Mais il faut ici faire une distinction : si le produit de a par un nombre impair est égal à une période, l'f-galité (G) a lieu; on se trouve dans le cas exceptionnel qui comporte un changement de forme j)0ur la fraction continue, et que nous examinerons page 099. Nous devons, pour le moment, exclure cette hypothèse etsu[)poser ra égal à une demi-période effective. Quand il en est ainsi, la période delà fraction continue est svmétrique. Suivant la parité de /•, on trouve l'une ou l'autre de ces deux formes, à symétrie double :

— px-i : 2A-I — <- : 2/, \

V ao -r-

Pl . 3:0 -r- J1 . Z] ...

Développement de \ X, X étant du quatrième degré.

Supposons maintenant a + ^'-i-<v = o, ce qui caractérise le cas exceptionnel. L'égalité (a5) donne c, = « ; donc ;'( = ^ et, suivant (28),

y/X = A -T- B : a. — 3, : Gt3 -+- . . . .

A = /Y-^P,(:r — î), B = Ki(:/- — OP2.

A est un polynôme du second degré; mais il est composé précisément de l'ensemble des trois premiers termes du développement de \X suivant les puissances ascendantes de x — ^, comme son origine le prouve et comme le montre aussi la composition du numérateur suivant, B, qui contient le facteur (x — ç)^. Nous avons donc ici un développement régulier de ^ X, où chaque réduite doit avoir un numérateur de degré supérieur, de deux unités, au degré du dénominateur et fournir la plus grande approximation possible. Dans les développements précédents, la différence des deirrés était seulement à'' une unité.

Pour connaître la liaison entre A et les quantités a, considérons l'égalité

et, nous souvenant que l'on a, dans ce cas exceptionnel, concluons d'abord

i-io »-l

Prenant maintenant la fraction continue (aS), en la faisant commencer au terme a', nous en déduisons

Par comparaison avec le développement précédent, mettant C,

CIl.VlMTItl' XIV. -- lUACTlONS CONTINUES. 097

au lieu do -^j nous conclurons Kl

(37) C i'\ = U' -^ i^,: <Xi-^ %: X3-^ . . . .

Quand r{^2a-h r) est une périodo, la fraction continue est périodique; sa forme nous est déjà connue par les développements (24V dans lesquels il faut mettre, au premier terme seulement, ^ y.' au lieu de y.' .

Le cas /• = 2 offre une exception, mais le développement (24^) donne immédiatement, pour ce cas,

et l'on voit qu'on ro])tient en mettant X sous la forme

(38) 4X = a-^ + 4c(:p-?)S ^=c(x-iy*,

où y. désigne un polynôme du second degré.

Pour le cas r= 3, nous avons, d'après (24 «) et (Sj),

Cv/X = ja'+ri,: cL.2-^('i,:{\u'-^C\Js.), ce qui donne cette expression de y/X,

aC/X =1/ a'2-T-4«p, ^',

montrant que a' est divisible par a^. Désignons par />, q deux binômes du premier degré, dont l'un sera ao et dont le produit sera pq. On voit que l'on résout l'équation (3i), avec t= 3, par rapport à l'inconnue ;, en mettant X sous la forme

Semblablement, c'est en mettant X sous la forme fSS) qu'on trouve l'inconnue ^ de la même équation (3i) pour /• = 2.

Celte théorie des fractions continues fournit ainsi un moyen de trouver les formules de la multiplication de l'argument. Mais il n'y a pas lieu de s'y arrêter.

Pour le cas /■ = 3, à la forme (39) de X répond la fraction suivante :

< \o) v^X ~ pq - ( j: — ^f:2q~.-ix — ^)3 ; 2pq -^( x — ^)^: iq -r-

La supposition 1 = ce donne

\^X = pq -1-1:27-^-1: 2pg -H I : 2q -+- . . ..

Elle répond à la supposition que 3 c soit une période. On peut vérifier la forme de X comme il suit. On a [t. I, p. i 18, éq. (49)]

— X =(;:'-- 3pr)2^2(2i;pV-p'V).

Dans le second membre, les deux termes ont une racine commune, d'après la condition

en sorte que X a elTectivement la forme P'C/'-^ P-

Revenons au développement (Sy) pour le cas où r[2a -h i-) est une période, ;■ étant impair. D'après la supposition a-h^-hw^o, l'égalité (aa) donne

ce qui sera une période si Ton prend /?i ^ i(/- -f- 1). La quantité j'm correspondante est donc une racine de X. Ainsi, dans le cas de périodicité avec un nombre pair (r — i) de termes à la période, la fraction (3^), commencée différemment, fournit l'un des développements (33).

Second développement de \^S., X étant du troisième degré.

Les résultats du paragraphe précédent s'appliquent au cas où X est du troisième degré. C'est donc un second mode de développement pour la racine carrée d'un tel polynôme.

Dans le cas de périodicité, avec /• impair, la remarque faite en dernier lieu s'applique ici. Mais l'une des racines de X étant infinie, il convient de distinguer le cas où yfn est cette racine même. Il se présente effectivement si ra est une période. Soit k = ^{r -h i). La fraction (3^) a la forme périodique (24)

CUAPITIU: XIV. — FIIACTIONS CONTIMKS. 699

L'égalité (ail, où r est nul cL w =^ — a, (Jijiiiic c/,= ra ^ o-^

don

'U,'Xl=jL=,.VV-A-. = „XV

^A- Va-1 \r-i; V>i.,

De là, suivant le développement (i:>\ on conclut

( 43 "i v/-^ ^ p/, - K/, r- : a/,, • - ^/,i : ay;-, ^ . . . -h ^ jB, : a' — ^ p, : a. -- —

Aux deux premiers termes près, c'est la fraction continue précédente, commencée au milieu de la période; c'est, en même temps, comme l'indique sa forme, la fraction que fournirait le premier mode de développement.

Dans le cas /• = 3 , les deux l'ractions continues coïncident complètement. Cette singularité n'est pas en désaccord avec les deux formules (4i, 43), que l'hypothèse A = 2 met en défaut, comme on le savait déjà pour la première.

D'après les égalités (36, 4"^), nous avons ici

Pi'

ce qu'on peut écrire sous la forme

pi.

pour en conclure

c étant une constante et pz wn polynôme du premier degré. Nous avons, tout à l'heure, trouvé la forme (Sp) pour l'hypothèse 6rt^:o; on voit maintenant que, pour obtenir le cas particulier 3« ^ o, il faut supposer/? réduit à une constante et prendre

On a ainsi l'unique fraction continue

Retour aux polygones de Poncelet.

Le polygone X étant supposé du troisième degré, envisageons d'abord le premier développement (35). Soient G« et H„ les deux termes de la n"'""" réduite. En développant suivant les puissances ascendantes de .r — ^, on a

d„ esl du degré n, H„ du degré n — i . Mais, si (2A' — i)a est une période, la fraction prend la forme (43); le numérateur l[i2i qui apparaît au rang A" — i, montre que la réduite de ce rang fournit une approximation exceptionnelle et que l'on doit avoir

(14) G/,i— II/,i/\ = [:L(ar — ^)2/'-i — .... {iA—i)a^o,

Gk-\ et H^-, étant de degré A' — i et A' — 2.

Le second développement (3~) donne, de même,

G„ étant du degré n -{- i et H„ du degré n — ^ i. Mais, si a/'a est une période, la fraction prend la forme périodique et la réduite de rang ;* — i fournit une approximation exceptionnelle, en sorte que l'on a

(45) G,.i- H,.iv/X = [J^ra;- ^)2'---.. ., 2m=;o,

Gr-i et H,., étant de degré /• et /■ — 2.

Ces deux conditions ( 44> 45) sont précisément celles que, au Chapitre X (p. 389), nous avons, d'après M. Cayley, données déjà pour l'existence des polygones de Poncelet ayant, soit 2r, soit 2 A — I côtés. Dans l'analyse que nous rappelons, les notations étaient s et Fi's), au lieu de .r — ç et X.

Calcul des quotients incomplets.

Nous possédons une expression analytique générale des quotients complets; c'est, pour la fraction (12), V',„: V^„,. C'est