CHAPITRE XIV. — FRACTIONS CONTIMES. 6o I

donc un calcul bien facile que celui des quotients inconiplcls a,„ et des numérateurs [3„j. Pour obtenir a,„, la méthode naturelle est de développer V,„lV,„( suivant les puissances ascendantes de u-^ a -'r V el de prendre les deux premiers termes. Pour abréger l'écriture, posons

et observons que le second facteur du numérateur (i) de V,„, quand on y suppose u = — a — v, devient

a'i mb — a — v — w) -- j\{nr — 1)6 -f- « — • (v]. \ oici les deux premiers termes du développement :

V„, Cm^-iia -~ v) :i\(m — ï)b -^ a — w]

V„,i G„i i<ia(i{a-hv)<i\{m — 2)6-i-a — w]

R,„ = -f- ^(m — 1)6 -^ rt - - tv]

— 11,\( m — 2)b -^ a — iv] — 7.11( 2a-^ v) -+- t{a -\- v)-^X^a.

En réunissant un terme — !^(2« -)-(>) = — ^6 avec les deux premiers et un autre avec les deux derniers, on peut écrire R sous l'une ou l'autre forme

■i. pb — p[{fn — 2)b-\-a — w) ^ pa — p(a-\-v)

I p'b ~ p'[(m — i)b -h a — iv] i p'a — p'(a-^v)

2 pb — p[{>n — i)b-ha — w] 2 pa — p{a-\-v)

Soit posé

lJ„t = C,n^\(m — i)b -^ a — iv]\ ^ ;

en se souvenant de la relation

a'v (^i^a ~r- v) pa — p ( a -f- 1^) = — -7 >

on peut écrire l'expression de V,„:V„i, sous la forme suivante :

T^ = ^[pa-p{a + v)][i+ \\,n{u + a -I- iO +. • •]•

602 DELMÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

Les deux premiers termes de ce développement doivent coïncicider avec les analogues dans a,„, savoir (2) :

«/;,= >^//)-^- lJ-m(^ — -a~t = '>^m^ \>-m[p{a -r- v) — pa]{u 4- a -h- r)

De là se conclut

(46) «/« = fr-^^[p«—p(« -+-»•) — R/»(^ — -a)]-

Pour obtenir |j„,, considérons l'égalité (3) et rappelons-nous qu'elle a été établie par cette condition que o(.,nYm-i+ i^otV„,2 doit avoir la racine u = a, multiple d'ordre supérieur à "2. m — 3. Nous en concluons donc

^m[pa — p{a^v)y- = — k,

puis, en y remplaçant )>,« par l'expression qu'on vient de trouver, introduisant D,„i et D/„2, au lieu de C,„, et C,„2,

— v„,[pa — p(a — t^)] D„i(^v(fb Clim — 1)6-1- a — iv](ï[(m — 3)6 -J- a — iv]

Les deux facteurs du second membre sont transformables en différences de fonctions p. Cette transformation faite, il reste

(47) -^"1= 7—^ l p[{m — 2)b -^ a — w] — pb > .

lJ/H-2

Nous avons mis en évidence des facteurs D,„, D,„ , , D,„2 • ces facteurs doivent finalement disparaître. Posons, en effet,

l'équation récurrente (3) devient

Um = 'î/« U/,, — 1 -i- 11,,, U/« — 2-

On voit donc qu'en mettant, dans les fractions continues, rt,„ et bm, au lieu de a,„ et jii„j, on multipliera ainsi ces fractions par des facteurs indépendants de la variable x. Ce sont donc ces quantités