CHAPITRE XIV. — FRACTIONS CO.NTINUES. 6o

qu'il convient d'envisager cl, d'après le calcul précédent, voici leurs expressions :

//ON i a//i^p« —r''« -+-»•)— R/«(^ — 0.

' ^m ^ ! pI' '" — 2)6 -t- « — «l'J — pb \{a: — i)-. On remarquera que, ayant posé

si Ton désigne par H la valeur de X où Ion fait x = ç, on peut écrire i\„i sous la forme

D'une manière générale, la fraction continue (28) devient, avec ces notations.

Considérons la fraction (33). On y détermine immédiatement le coefficient constant qui reste au premier membre; il suffit, à cet effet, de considérer l'expression (49) tle ft,). D'autre part, la valeur particulière de (p, qui convient à ce cas, est donnée par l'égalité (Sa); il en résulte que, dans les expressions de R/» et b,„, on a

Avec les coefficients n„j et b,„ ainsi particularisés, on a

En outre, d'après l'expression de b,„ et par la double forme de R/«, on a

il en résulte que la symétrie du développement (33 a) n'est nullement altérée :

— — = a -i- b:au.-i-+- l'ix-i-i- au.-0-i-. . .-t- b, : Ho-h l'i : I1 —

6o4 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

Dans le cas où y est défini par la condition (34), on a, pour a-^ V -\- (v, une demi-période û et, par conséquent,

La symétrie impaire du développement (34«) apparaît sous la forme

— — = in- b : tt„ -f- bn : hm-i -f- . . . — b2 : «1 -+- bi : ui + ba : 02 -t- —

Si l'on veut supposer ^ infini, on posera

rt,„= (^ — a;)a;„, b;„ = (^ — xy-b',,,. Les valeurs limites, pour q=z zc, sont les suivantes :

I p' v — p'[( fn — 2)t> — (v] a, a,„ = — -3 p p -: — ' f- j j z = X -\ ,

Ces coefficients remplacent tt,„ et b,„ dans le développement général (5o). La formule (5i) se change ainsi en la suivante :

i/ — = i iio — bi : tt, -T-

>Ax — x^))\ ao -

Si le polvnùme X doit se réduire au troisième degré, il faut prendre v infiniment petit; on posera, pour ce cas,

a,n^—va",n, b,n= t'^Kii, avec ces valeurs limites

R/« = - Sr TT > ^- ' 57 — ^ = pa — p «.

Si, dans le polynôme X, on a réduit le coefficient de x^ à l'unité négative, la fraction (5i) acquiert cette forme

X Xq