CHAPITRE XIV. — FRACTIONS CONTINUES. Go
Il faut ici prendre, conformément à l'égalité (Sa), 2^v : — 4«i mais en observant qu'on en doit conclure tv = — 2rt-i-â), non pas w = — 2a, sans quoi l'argument Cq ne serait pas égal à une demi-période. En le rendant égal ù une période, on obtient le développement (35), qui prend ainsi la forme
( 53 ) V^^^ = 2 " u -^- b'i : a'J -I- . . . ( II' — -- 2 a I.
Nous avons enfin à envisager le cas « -f- c 4- (p = o, qui donne lieu au développement (^y). Soit ô un infiniment petit, que nous mettrons d'abord à la place de « -t- t» ~ w, en sorte qu'on ait
{m — 1)1) -h a — »• = mb — t,
ce qui rend Dq infiniment petit, Rq et R, infiniment grands. Soit posé
p'a — p'i'a — p) pa — pia-^i>) ~ ^•^'
en employant successivement les deux formes de R„,, on obtient
2 pb — pz -^ 2 pb — pz
et Ton en conclut
lim(Ro— Ri — 2 / )= lim — -,^^ = o,
pb — pt
4 (pb — pt)- pz- pb
D'autre part, l'égalité (47) donne
et de ces deux dernières résulte
Ui pz — pb
lim^RoR,+ ^Vi^=-3p6^/2.
(3o6 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
L\'galité (46) conduil à ao2,= ,-r^[,P« - p{a -^ v) - B^oix — ^)][pa — p(a -^ v)— Ri( X — ^ç)].
Ayant d'ailleurs
nous obtenons a', suivant la relation (y), de celte manière
oc'= Iim(aoai-^ pi)= ~\ [pa — p{a-r'V)Y-^2f[pa — pia^v)]{x — i)
On a aussi
En posant
a--.\pa — p(a-^i')]-^
on obtient le développement (3^) sous la forme explicite
{'j'j) — /zx = |tt-H b : iio-T- bs: 113-1-. . .,
2rto
où l'on devra se souvenir de remplacer, dans les expressions des coefficients, (m — i jb-r- a — iv par nib.
Un calcul facile, et que l'on pourra faire, à titre de vérification, donnerait directement les premiers termes du développement du premier membre (55) suivant les puissances ascendantes àe x — ^. Ces premiers termes doivent fournir ^ rt. Pour effectuer ce développement, on mettra le premier membre sous la forme
et l'on développera suivant les puissances ascendantes de u — a.
CIIAIMTUE XIV, — KIIACTIONS CONTINUES. G07
Formules explicites pour le développement de y^X-
Nous avons trouvé, sous une forme remarquablement simple, les expressions elliptiques des quotients incomplets. Pour revenir, de là, à des expressions algébriques, il faut employer la théorie de la multiplication de l'argument, qui exige, jusqu'à présent, le calcul de proclie en proche. Mais, pour que le problème algébrique soit entièrement résolu, il faut que les éléments de ce calcul soient df'gagés de toute formule elliptique, comme nous l'avons lait, par exemple, à propos des polygones de Poneelet. C'est ce que nous allons encore faire ici, nous bornant toutefois au développement de y X.
En posant
,^— ; = 5, pa — p(a — (^j^ P,
nous mettons la fraction continue i 55 ^ sous la forme
Demandons les six premiers coefficients au calcul direct :
(58) cp,= ^, 0
^ ^ q',q-.— q^q(, q^^ qz ' q-z '* ql — q^q-o qz
Quant aux coefficients </, on les trouve par l'extraction d'une racine carrée :
Iq^ — ipu qo^'ipî—ipi,
^3== '^pz—GpiPi-^ 4pî, q;^- \p* — qiqz— \ qh qô = -qi q.— qi q^, q^^ — i ql — q iq-.— q-.q-.-
6o8 DEUXIÈME PARTli:. — APPLICATIONS.
Revenons mainlcnaul aux expressions elliptiques des coefficienls. Suivant la valeur actuelle de «t', on a
R ^ /• * p'b — p'{m — i)b •^ 2 pb-p{m-i)b
ce qui peut s'écrire aussi [t. I, p. 1 18, éq. (47)] sous la forme (60) R„,-r-/- -^^,^^ = - ^^[pim—i)b-pb]{pmb-pb).
En introduisant la fonction y,„ (t. I, p. 102), on conclut
p r P"b I ^,n^ni-i '^w-4-i't^/»-1 '{m-l'(m+\ ,,5
"'"^•^ -^pb- pb 6)=,, ^j„ - ^i„,-r(.n' ^ '■
Les expressions (54, 56) de b donnent
par quoi l'égalité précédente devient
En y prenant m = 2 et retranchant membre à membre, on obtient
^m — 'fa = — I —
Y"ï— iT'M \ '^
ou, suivant la première égalité (58),
Les expressions (48, 56) de b„i donnent aussi
Ayant introduit ainsi les seules fonctions y, on n'a plus à connaître que les deux premières, ^3 et y-,, pour obtenir toutes les autres et, par suite, les coefficients o„j, 0/,j. Posons, comme au tome I (p. io3),
^ = yL y = Y4;
CIIAPITRK XIV. — lU.VCTIONS CONTINUES. GoQ
en faisant m = 3 dans les équations (6i, Ga) cl recourant ;ui\ expressions (58) de O3 et de O;,, nous trouvons (')
En résumé, pour obtenir le développement
1 =(i-i- qiS~ q-lS-)— (/3S^:{l — OoS)-^ (isS^:^ 1—^3$) -^-...,
on calcule les (j nantîtes y,,, par les formules récurrentes (t. J, p. io3\ qui donnent successivement
Y3 = V — X, Yc = Y — \ — Y-',
Ces quantités servent à composer les coefficients o,„ et 0,„; les coeflicients ^ sont d'ailleurs donnés par les égalités ( 39 ).
Si l'on veut supposer ç infini, il suffira de changer 5 en - • On a
donc le développement
= ( x^ — qix -^ q.2)-i- (/3''{^ — 'i2}-^%:(3^ — 03)-^-. . .,
avec les mêmes coefficients que dans le développement précédent.
(') De même qu'au Chapitre I\, désignons par M* et II le polynôme X et son hessien, en y mettant la variable Ç, On a ainsi (p. 3Go) pO ~ — H : M". La lettre T représentant le même rovariant qu'à la page 36r, on trouve alors
