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Celte forme de x, comparée à celle du texte, fournit, pour les covariants, des cxprc>»i(jns simples par les coefficients r/. On trouvera de semblaltics expressions dans un Mémoire intitulé : Formules d'Algèbre, resolution des équations du troisième et du quatrième degré, par M. G. -II. Ilaiplien {.Xou^'cllcs Annales de Math., 3» série, t. IV'; janvier i88j).

Cas où X est du troisième degré.

Les formules qu'on vient de trouver s'appliquent, sans aucune modification, au cas oîi X est du troisième degré. Mais on peut, en ce cas, présenter ce même calcul autrement.

L'argument b est égal à 2 a, puisque v est nul. Considérons alors les fonctions y,,, pour l'argument a, au lieu de l'argument 2«, et, afin de les distinguer, mettons y^^, au lieu de y,„; x' et y', au lieu de x et y. Nous avons déjà calculé x' et y' au Chapitre X (p. 387) pour le polynôme mis sous la forme

et nous avons trouvé

, (^kyk-,- klf , ikykik^—k\-ikl

En posant

4/»i = — 7-) bp2=-rr'> 4/'3 = — 7:'

nous ramenons le polynôme à la forme (64) employée ici. Ces changements faits, on obtient

(65) '^'=ft' y' = --^.

On peut, par cette voie, retrouver les expressions (63) de x et de y avec la simplification qu'y amène l'hypothèse pi, = o. Suivant un théorème de la page 106 (t. 1), on a

x'Ct'— x'— v'2)3 X = —

(y'— x')('2x'— y') — x'v'2 fax' — y'-^ y'2j( y'— x' — y'^)

Le lecteur pourra faire cette vérification , en vue de laquelle la dernière formule est spécialement préparée.

Suivant le théorème de la page 106 (t. I), on a généralement