CHAPITRE XIV. — FRACTIONS CONTINUES. GlI

les égaillés ((ii, (r^) se transforment donc en cclIcs-ci :

Telles sont les formules que l'on peut adopter pour le développement de la racine carrée d'un polynôme du troisième degré, sui- \anl l'égalité if>'\)- H conviendrait assurément de leur préférer les précédentes, qui font intervenir x et y, au lieu de x' et y'. Mais ces derniers éléments sont nécessaires pour l'autre mode (53) de développement.

Les fonctions de multiplication 'h„i vont maintenant s'appliquer à l'argument a. Voici d'abord une formule qui va servir. On a

pi a — p ( '2 /H — I j a = j) a — p( itii — i)a — 1 p a — J) 2 a ) d'après l'égalité (i5) delà page 102 (t. I), on en conclut

ji 2 a — jiiim — I ) a

?2y2/«-i Pour le cas du développement (53), nous avons ainsi (5?-)

et, par une transformation analogue à celle qui a déjà été faite (60), p"a p"9.« '!/,„,.•, «^2/"-4-3

ap'a ip'ia p' 'îaYi'h-'n-\'\!im+i

Les égalités (29) et (47) du tome I, Chapitre IV (p. 107 et I 18) donnent

\^" a p'a-hW-ia jV'xit 9. , ,, p"9.a -xiir.

pa pa — pia pi et p 2a "' P i» P '^«yî

De ces deux dernières résulte

p a p 2a(j;î \ • ■* 4'2/«-iy2'«+i /

6l2 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

OU bien, suivant la même formule (i5) de la page 102 (t. 1),

'" p'a p'ia<}^i <\ii,n-l'^2m+l '\>-2m-l'T'2m-\-l

Il ne reste plus à faire que des transformations très simples, toutes semblables à celles qu'on a vues prccédemmenl, pour obtenir les formules suivantes :

^"i — / Pi} Y'» ' -/l — .,' .,'

Expression générale des réduites.

Dans la fraction continue

(66) jjjj. : au.-î- ppi+i : ajj.+-i-î-. . .-\-'^,n : «/«-f-. . .,

la réduite G„, : H,„, que l'on obtient en s'arrêtant au quotient incomplet 0L„,, se calcule, comme on sait, au moyen de l'équation récurrente (3), appliquée séparément à G„i et à H„i. De plus, cette loi de formation commence dès le début, si l'on suppose deux premières réduites fictives ^ et ". Si donc on détermine quatre quantités a, b, a', h' par les équations

« V5j.2 — a' VJj.-2 = I , h Vjj.2 -- b' Vjji,- 2=0, a Vjj.i -~ a A'jjL- 1 = 0, h V(j,-i -h U V[a-i — i ,

les deux réduites fictives seront

a ^'|J^-2 -^ «' Vfi^2 « V(j, , -^ a' V(j i

et, par conséquent, la réduite générale S,« s'exprimera ainsi : Les équations ci-dessus donnent

, Ci^\ ^^ ^ U.-1 ^'^ Vu— 1 (>- * Ul 2 ->

Va-,

Va 2