I -t- X -^''" (GS) S„, = P 4- Q /X î}^ = P -1- Q v/X

' /Il

La quantité P -h Q y/^ est précisément celle qui est développée par la fraction continue (66) considérée, comme il résulte de l'éj^alité (il). De cette quantité elle-même, on déduit ainsi la /m"""" réduite en multipliant le radical par la quantité /",„,

m — yT" '

où X est une constante. C'est donc en faisant cette même opération qu'on aura l'expression générale de la réduite pour les diverses fractions continues qui ont été considérées ici. Celles notamment qui servent à développer y/X ont pour réduite /,„y/X.

La formule (68) est encore valable pour les fractions du cas exceptionnel. On doit seulement supprimer la réduite S,«, en même temps que le terme V,m est supprimé.

Cette formule (68) est en défaut pour certaines valeurs de jc, notamment quand x devient égal à une racine de X. Elle se présente alors sous une forme indéterminée, duc à la coïncidence de V- avec V. Nous ne nous arrêterons pas à lever cette indéterminalion, ce qu'on pourrait faire en calculant la partie principale de V — V. Un autre cas plus intéressant est celui où l'une des deux quantités V,j,o ou VJ;^2 est nulle, où, par conséquent, l'une des deux quantités P ± Q\/X est infinie. Comme on a

6l4 DEUXIÈME PAUTIE. — APPLICATIONS.

on voil qu'il s'agil ici de riiypotlièse x^=y. Pour ce cas, on trouve

l si ^'[x-2 = o, c'csl-à-dire x — y cX. \/X = y/Y , S„, ~ — /^~^ ( i — tt^-— - r^ ) J

' V|j,2 \ Vjj,- 1 > ,„

f si V,x 2 = o, c'csl-à-dire x ^ y ç.\. s/"^ = — sj\ , S,„ = — :^^ ( i — -7—^ ^ ) •

\ ♦ Ul-2 \ V jx l V „, /

Notions générales sur la convergence.

L'expression (08) de la réduite attire immédiatemcnl l'attention sur le cas où la quantité /i„i peut devenir nulle. Quand il en est ainsi, la réduite est égale à la fonction qu'on développe, P-h Qy/X. Si, au contraire, /i,„ devient infini, la réduite est égale à la fonction conjuguée, P — Qy/X. Ces deux circonstances sont caractérisées par les conditions suivantes :

h,„ = o, pour u -T- m ( 2a -r- v t — w ^^ o,

h,i = :c, pour u — n {ia -r- v ) -r- v -^ w ^ o.

Elles peuvent se rencontrer en même temps, si Ton a

* 2 w -i- f ES (m -t- /i)( 2a -f- f'),

ce qui est justement la condition de symétrie [\'j)^ donnant lieu aux fractions continues (33a) et (34<7). Les deux réduites en question sont alors de part et d'autre par rapport au centre de symétrie; cette circonstance ne peut donc se présenter dans les fractions (35) et (3-) qui servent à développer y'^X, et qui commencent au centre de symétrie. IMais, dans ces dernières fractions, la même circonstance vient s'olTrir, s'il y a périodicité. En ce cas, on le voit, il y a des valeurs de u, de x, par conséquent, pour chacune desquelles les réduites sont périodiquement égales à y/X, tandis que d'autres réduites, périodiquement aussi, sont égales à — y X. Ainsi, dans les fractions (35«), si l'on prend u = 2 «a, les réduites de rang n, n -+- /•, /i H- 2/-, ... sont égales à — y/X , tandis que les réduites de rang /■ — n, ir — /? , ... sont égales à -h y/X (dans l'évaluation dui'angde ces réduites, on a tenu compte de ce que la première est |ao). Dans la fraction (87), si