CHAPITRE XIV. — FRACTIONS CONTINUES. 6l

r^-xa 4- r) est une période et que Ton pi-enne u de telle sorte que h,i soit infini, les réduites de rang /?, /• — i -\- n, i{f — i) j- «. ••• sont égaies à — \^-, et celles de rang /■ — i — «, i{r — i ) — n, ... égales à 4-y/X. Il faut observer que Ton doit écarter ici les cas où les rangs des deux classes de réduites coïncideraient entre eux; on aurait alors, suivant (70), 2«+ v^^o\ y/X serait nul; mais, on Ta dit précédemment, la formule (68) ne donne pas immédiatement Srà. Ainsi, la fraction (4o)> où l'on a r = 3, ne présente, en aucun cas, cette oscillation des réduites.

Nous avons donc un cas, nettement défini, celui de l'oscillation, où l'absence de convergence est bien claire. Il se présente dans les fractions à période symétrique et pour des valeurs particulières de X. Ces valeurs de x étant réservées, les fractions continues périodiques convergent, en général. On a, en effet,

Si rb est une période, //,„, A,„+r, A/«+2r, • • • forment une progression géométrique. Les quantités /i,„ se répartissent donc entre ({uelques progressions géométriques (en nombre /■ ou /• — -i), de môme raison, dont les termes, sauf pour des valeurs particulières de u., deviennent ou infiniment petits ou infiniment grands. Ainsi, en général, dans les cas de périodicité, les fractions continues convergent vers la fonction ou sa conjuguée, sauf pour des valeurs particulières de x.

Au contraire, lorsque b^= ia-\- v esl quelconque, les fractions continues ne convergent point, et cela quel que soit x. On peut, en effet, trouver m de telle sorte que mb — ^v -a- u ou nib — iv — u — V soit aussi voisin d'une période 2 n to -{- 2. n' o)' que l'on voudra, n et n' n'étant point donnés. Il y a donc indéfiment, pour h,n, des valeurs aussi petites et aussi grandes que l'on voudra, et S„j ne tend vers aucune limite.

Mais, si b, sans être commcnsurable avec une période, est, avec une période, dans un rapport réel, la convergence apparaît. C'est ce qu'on va faire voir en se bornant, pour être plus précis, au cas où le discriminant est réel et positif et b réel.

Gl6 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

Étude de la convergence dans un cas particulier.

Si, dans l'expression (-i) de li,„^ on considrrc la somme des can'cs des arguments des fonctions g" du numérateur et qu'on en retranche la somme des carrés analogues du dénominateur, on obtient une quanlilé indépendante de m :

(2m — Oi a — u)--^{ mb — w -h «)2

— {Ltu — I ^\a -4- u -r- v)- — \mb — w — u — v)- = ■i{a — iv){iu -f- v).

Si donc on met 3,, au lieu de cj, il y a simplement à diviser chaque argument (t. 1, p. 25 1) par 2w et à multiplier li„i par un l'acteur exponentiel, indépendant de m. 11 s'agit de reconnaître comment varie //,„ avec m] on peut donc faire abstraction de ce facteur.

La substitution de .'B?, à c> a pour effet d'introduire des fonctions ayant la période 2to. A l'égard du second des deux facteurs qui composent h„i, si l'on met, à la place de mb^ une variable f, il suffira donc d'envisager, pour ^, les valeurs comprises entre zéro et 2(0. 11 est, dès lors, évident que, si la parLie imaginaire de w -\- u -\- V 11 est pas nulle, le second fadeur de hm (après substitution de .3r, à d) conserve toujours une valeur finie, au module de lacjuelle on peut assigner une limite supérieure et une limite inférieure. Le cas particulier, où iv -\- u -r- v est réel, est plus difficile. Nous savons déjà ce qui se produit quand b est commensurable avec la période 2w; la difficulté disparaît alors : il faut donc supposer b et (o incommensurables entre eux. La théorie arithmétique des fractions continues nous apprend (t. I, p. 4^^) ci^e l'on peut trouver les entiers m et /?, de telle sorte que mb -— in(ji — w — u — v approche de zéro autant que l'on voudra. On peut donc, dans tout intervalle réel, si petit qu'il soit, trouver une valeur de (v ->!- u -{- v telle que, dans un rang supérieur à un nombre M donné, si grand soit-il, on rencontre une réduite rigoureusement égale à P — Qy/X. C'est, en effet, la valeur de la réduite quand h„i est infiniment grand. Au delà de ce rang, il y a ensuite des quantités /i,„, en nombre indéfini, où le second facteur est supérieur à toute quantité donnée; mais il est comparable à m-.

CIIAFMTUK XIV. - IllACTIONS CONTI.MES. G17

Examinons niaintcnanl le premier fadeur de //,„; c'est la [)uissance (fim — 0 de la cjuanlilé A,

&,^P — u) aa-i-p h iu- V

Par li\pollièse, [3 est réel; 'J doit être siipj)Osé imaginaire quelconque :

U - - U,-:- t'y,, « -" 2 ^ ~- "l "•" ^"2- "l " 2 tOJi, lli ■ - XOJo.

Nous supposerons d'abord [i et u,, compris tous deux entre zéro et ^, e/i excluant ces deux limites; dans ces conditions, nous allons prouver que la valeur absolue (module) de Ii est inférieure à runilé. Pour ce but, nous emploierons l'expression de la fonction d, où sont mis en évidence l'argument et la valeur absolue de la quantité complexe d{a -j- t'a).

Dans cette expression [t. ï, p. ijS; éq. (i\)\\

(j{a -- i'x ) = 7~ :fa.iji'x\/pa — pta W(a, a ),

tous les facteurs sont réels, sauf le dernier ^F, qui est égal à e" , $ étant un angle réel (t. I, p. iG3 ). Ce Aicteur, par conséquent, ne jouera aucun rôle dans la reclierclie de la valeur absolue. Pour employer cette formule, faisons des transformations successives, en ne prenant que la valeur absolue \h\ de A, laissant donc de côté les facteurs ^1' :

S?i< ^ — ui ) /p{\b — ui) —piih

^l(P-t-'Jl) V Piib-r-Ui) —piUn

Nous allons avoir à considérer la valeur de A] en supposant, soit //2=o, soit ia.2=^(ji'- Pour le premier cas, on a immédiatement, pitio élanl infini,

6i8 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

Pour le second cas, piit-2 étant égal à 63, on a

(fsUbzhUi)

\p(^b± Ui)—e3

et, en employant les formules (09 A) de la page 266 du tome I,

Dans la lormule (ji), le signe doit être pris de manière que I /«o ! soit une quantité positive. Ce sera donc le signe de ^ — tJ) .

Le discriminant étant positif, les fonctions .0 sont construites avec une quantité q réelle. Les deux fonctions B, et ETo, d'argument /, réel et variant de zéro à |, sont alors constamment positives et croissantes (t. I, p. 286). Chacune d'elles prend une seule et même valeur pour les deux arguments ^-\- t el ^ — t.

Deux arguments, compris entre zéro et l'unité, étant mis dans une même fonction, .3', ou !^o, c'est donc l'argument le plus voisin de ^ qui donne à la fonction la valeur la plus grande. Or des deux arguments ± (|3 — Uj) et [3 + u,, compris, d'après les hypothèses, entre zéro et l'unité, c'est le second qui est le plus voisin de 5. Donc I /iq 1 et | /i, | sont tous deux inférieurs à l'unité.

Si maintenant, dans la quantité | h |-, on considère piu2 comme une variable réelle, il existe une valeur unique, z-, de cette variable, qui donne \ h\-= i . Mais les valeurs extrêmes de piu2 sont — co et 63. Comme on vient de le voir, elles donnent, toutes deux, I A 1" << I . La quantité jz n'est donc point entre — ce et 63 , et Ton a constamment | /i [^ -< i .

La quantité h ayant une valeur absolue inférieure à l'unité, le premier facteur de hm est le terme général d'une progression géométrique convergente. Le second facteur, quand w -\- u -i- v n'est pas réel, est compris entre deux limites fixes; hm est alors le terme général d'une série uniformément convergente. Nous reviendrons tout à l'heure sur le cas oiî w -{- u ^ v est réel, et l'on verra que h„i est encore le terme général d'une série convergente. Ceci admis, dans les hypothèses faites, hm converge vers zéro et la fraction continue converge vers P -{- Q y X. Nous allons examiner la signification algébrique de nos hypothèses.

CIIAPITHK XIV. — FRACTIONS CONTINUES. Gig

Le (liscriiniiianl clanl rccl et positif, X, à coefficicnls réels, a ses racines, ou toules réelles, ou toutes imaginaires (t. 1, |k 122). Supposons-les réelles et, de même qu'à la page 12- du loine I, rangeons-les par ordre de grandeur :

Distinguons quatre intervalles limités par ces racines, savoir :

; A(, s'clcndant de Xq à -^- yz el de — --^ à .Tj,

1 Ao » Xv à Xti,

J A] ■) Xi a X2,

\ A3 » X3 à Xo-

A l'endroit cité (t. I, p. 128), on a vu que, l'argumcnL d'une quantité réelle jc étant désigné par — |^p' -h t, t est réel quand a; est dans l'intervalle Ao, / — w' est réel pour l'intervalle Ao, t est purement imaginaire pour l'intervalle A3; enfin, t — to est purement imaginaire pour l'intervalle A,. En passant à l'argument double et négligeant les périodes, 2co ou 2Cl>', on peut dire que 2/ est réel pour les intervalles Aq et Ao, purement imaginaire pour A, et A3.

On a supposé b ^ 2a -h v réel; a est l'argument de ^. L'hypothèse est donc que Ç se trouve dans l'un des intervalles pairs, Ao ou Ao. On a supposé ^ compris entre zéi'O et ^, restreint, par conséquent, a -i- Iv dans l'étendue d'une demi-période. Mais ceci n'apporte aucune restriction; car le changement de a + ^f en 2w — («-4-7'') n'altère pas i : il change seulement le signe de ^S. En laissant ^ constant, on peut admettre, sans restriction, que la valeur initiale de y/X, pour x voisin de H, correspond à un choix de l'argument «, tel que ,3 soit, en efTet, compris entre zéro et ^. Enfin, on a trouvé que la convergence disparait pour |j = o ou pour jj == ^, ce qui a lieu quand ^ est une racine de X. Ainsi, i ne doit pas être placé à \ extrémité d'un intervalle, Ao ou Ao.

La convergence disparaît aussi quand u, est zéro ou ^, c'està-dire quand la partie réelle de u-{~ ^v est zéro ou to. Ceci a lieu quand x est réel et compris dans l'un des intervalles A, ou A3. Si l'on représente la variable complexe x par un point du plan, ces deux intervalles, A, et A3, sont figurés par deux segments ou cou-

620 DEUXIÈME PAUTIE. — APPLICATIONS.

parcs, siliiés sur l'axe des quantités réelles. Ces coupures sont interdites à .r, si Ton veut que la fraction continue converge.

En supposant u, compris entre zéro et ^, on n'a point limité x. Comme on vient de l'expliquer pour Ç, on a seulement précisé le signe de ^ X : de quelle manière? Et d'abord, pour x voisin de i, ce signe est celui que nous venons 'de nommer initial et qui a servi à calculer la fraction continue. Interdisant à Uj de sortir des limites zéro et 4, on interdit à u, de passer par ces valeurs zéro et rr', ou interdit donc au point x de franchir les coupures. Ainsi, la fraction continue converge et représente la fonction P-hQy/X quand x varie d'une manière arbitraire, sans franchir les coupures. Ce fait est d'accord avec ce que nous apprend la théorie élémentaire des quantités complexes : y/X, en effet, devient une fonction uniforme moyennant ces coupures, c'est-à-dire qu'elle a, en chaque point x, une seule valeur, quand on a choisi, une première fois, en un point arbitraire, Tune de ses deux valeurs. Toutefois, pour rendre ^/X uniforme, on peut prendre, en guise de coupures, deux lignes arbitraires, dont les extrémités coïncident avec les quatre points racines. Ici les coupures sont déterminées.

Au lieu de supposer b réel, si on l'eût supposé purement imaginaire, on eût pu faire tous les mêmes raisonnements en échangeant les périodes. Les conclusions subsistent donc, sauf échange des intervalles pairs avec les intervalles impairs, c'est-à-dire que les coupures sont composées des deux intervalles de parité opposée à celle de l'intervalle ovi ^ se trouve. Voici donc nos conclusions :

X étant un polynôme du quatrième degré à racines t^éelles, X la variable, y et q deux constantes, dont la seconde est réelle, on considère, pour la fonction

le développement régulier en fraction continue (à quotients incomplets du premier degré), qui se déduit du développement en série, suivant les puissances ascendantes de x — ^. Si ^ est réel, la fraction continue converge et représente, dans tout le