partie imaginaire de

{cc—y}-

où l'on suppose réels les coefficients de F, hypothèse permise puisque les racines sont réelles.

Si l'on met, pour x et j', des quantités complexes, représentées par deux points, l'un fixe, l'autre mobile, celte équation définit une courbe algébrique, lieu du point x, pour lequel J}(/^ — c) est réel. Mais cette courbe ne convient j)as, dans son entier, à la question jiroposéc. Elle se partage en quatre branches, savoir

6a3 DKL'XIÈME PARTIE. APPLICATIONS.

Bo, lieu du point x, pour lequel u — c est réel; B3, lieu du points:', pour lequel 11 — c est purement imaginaire; Bo et B,, lieu du point j-, pour lequel u — c — to' est réel ou a — c — w purement imaginaire. Les deux premières seules passent au point y. C'est une dos deux premières branches qui convient à la question, celle dont l'indice est de même parité que l'intervalle A où se trouve ^.

Cette branche de courbe, Bq ou B3, nous l'appellerons la ligne de cojn-ergence non uniforme ; on va en voir la raison. Mais il convient, avant tout, de noter un cas où celle ligne est immédiatement connue : si y est réel et situé sur le segment A qui contient i, ou bien encore sur le segment non contigu, la ligne de convergence non uniforme est le segment A qui contient y. Cela est évident. En particulier, si^ coïncide avec une des racines de X, on se trouve dans ce cas; on s'y trouve aussi quand on prendy = ^, ce qui est le cas du développement (S^) de y/X. On ne s'y trouve point toujours quand y est infini ; mais, si X est du troisième degré, l'infini est une racine : pour les deux développements de y/X, quand X est du troisième degré, la ligne de convergence non uniforme est donc toujours un segment A.

Le calcul direct de la fraction continue, si on l'efî'ectuait, donnerait la ligne de convergence non uniforme. En eff'et, les différences Cm+\ — Ci = ryib (20) montrent qu'en prenant x ^ym+t, quel que soit m, on obtient une valeur de x qui appartient à cette ligne. Il en est de même, si l'on admet pour m des valeurs négatives. D'après l'égalité (27), en considérant les deux fractions continues (i i) et (12), on est conduit à cette conclusion :

Si, dans le calcul des fractions continues, servant à développer les deux fonctions

on s^ arrête à un quotient incomplet quelconque , le reste est de forme

Toutes les quantités ym-, prises pour valeurs de x, appartiennent à la ligne de convergence non uniforme.