CHAPITRE XIV. — FRACTIONS CONTINUES. G^îS

Dans le calcul de la fraction conllmic, celle ligne se Irouve ainsi tracre par points cX, circonslance Yciw\iV(\uàh\c, par j>oinls indé/ininiciil ni pj) roc lu'' s. En efTel, m h -h 'ihm, où m el n sont des entiers quelconques, ap[)roche, autant qu'on veut, de toute quantité donnée, de même espèce (réelle ou purement imaginaire) que b et w. Sauf donc le cas où b est commensurable avec to, la suite indéfinie des quantités y ,„ fait entièrement connaître la ligne de convergence non uniforme.

Sur toute cette ligne, la convergence est non uniforme : la fraction converge vers P + Qy/X, puisque h'-"'^~* est le terme général d'une progression géométrique convergente et que le second facteur de h„i^ en dépassant toute limite, reste comparable à m-. Mais, dans un intervalle donné, si petit soit-il, pris sur la ligne considérée, on peut trouver une position de x telle que, dans un rang supérieur à M, donné, si grand qu'il soit, on rencontre une réduite rigoureusement égale à P — Qy X. Il n'y a donc aucune limite assignable au rang de la réduite capable de représenter P -h Q V X avec une approximation donnée à volonté. C'est la définition même de la convergence non uniforme.

Cas de la périodicité.

La convergence non uniforme disparaît dans le cas où la fraction continue est périodique. Le second facteur de hm a, en ce cas, un nombre limité de valeurs. Si aucune d'elles n'est infinie, la convergence reste donc uniforme. Si une ou plusieurs valeurs de hm sont infinies, la convergence disparaît. C'est ce qui a lieu pour des valeurs particulières de u, entièrement déterminées. Ainsi, dans le cas de périodicité, la convergence reste uniforme sur la ligne de convergence non uniforme (qui n'est pas modifiée, ne dépendant que de x et de y, non de H), à l'exception de certains points, oii la convergence disparait. Ces points, comme le raisonnement du paragraphe précédent le met en évidence, répondent précisément aux valeurs de y,n, qui, vu la périodicité, sont en nombre limité.

Remarques sur un autre cas particulier.

Nous avons, pour préciser, supposé le cas où le discriminant est positif cl où les racines de X sont réelles. L'hypoLlicse relative au discriminant élait essentielle ; elle entraîne pour les fonctions 2>i et 2îo des propriétés sans lesquelles la démonstration ne pouvait se faire ; nous restons, pour les autres cas, dans une complète incertitude sur les moyens de vaincre les grandes difficultés du problème. Mais la supposition de réalité des racines peut être écartée. Les coefficients de X étant supposés réels, ces racines peuvent aussi être imaginaires toutes les quatre.

Notre analyse a porté sur les arguments w + ^c, a~\-\v. C'est Targument ii-\- ^ç = t qui figure seul, comme variable, dans les formules de la page i3i (t. I), et l'on aurait, par ces formules, un moyen de raisonner directement sur ce cas , absolument comme sur le cas précédent. Il faut seulement observer que p^i> n'est plus une quantité réelle. Le lieu des points x correspondant à des valeurs réelles de pt, d'après la formule

(76) x-Xo= ^ "-

pi — PJ^

n'est donc plus une ligne droite, l'axe des quantités réelles; c'est un cercle.

Allons plus loin et donnons, dans cette formule (76), à x,y et r des valeurs imaginaires quelconques. Alors la quantité

p't : (pt -Pii')-,

suivant la formule (68) de la page iSa (t. I), représentera la racine carrée d'un polynôme du quatrième degré X, à coefficients imaginaires, transformé d'un polynôme à racines réelles par une substitution linéaire et fractionnaire. Le caractère de ce polynôme, cest que ses racines sont représentées par des points situés sur un cercle. A un tel polynôme, les résultats précédents s'appliquent, si la quantité \ est représentée par un point de ce cercle.

La circonférence du cercle est partagée par les quatre racines

CBAPITRE XIV. — FRACTIONS CONTIMES. 'i >..'»

en quatre arcs conséculifs. Les ileu\ arcs, contiens à celui sur lequel se trouve le point ç, constituent les coiipiiros.

Pour (-KTiiiir U( /i^/ir de ron\er<j;cnce niui iinij'oriiie, prenons alors une variable z, représentée par un point (juelconque de la circonférence et posons

En supposant, pour )■, une quantité complexe fixe et, pour jc, une quantité complexe variable, cette équation définit le point x au moyen du paramètre z. Par la variation de ce paramètre, le point X décrit un lieu : c'est la courbe dont il s'agit. En outre, sur deux arcs non contigus, le rapport H(;): F(:;) a les mêmes valeurs, de sorte que la courbe se partage en deux branches, dont l'une correspond aux coupures, l'autre à l'arc oii se trouve ^. Cette dernière branche, seule, constitue la ligne de convergence non uniforme. C'est ce que l'on démontrera très aisément au moyen de la forniulc de duplication de M. Hermite (p. 36o).

Les fractions continues, considérées comme des covariants. Considérons la fraction continue

où a est du premier degré en x et ^S^ de la forme v„(j: — ç i-, v,, étant indépendant de x.

Envisageons maintenant une substitution linéaire et fractionnaire, appliquée à j", à y et à ç :

ax' — b ay'-^b ^ a^' -t- b

~ cx'-^d^ ^ ~ cy'-~-d' '' ~~ c^'-hd^

cx'-T-d = p, cy'—d—q, Cç'-^d^r, ad — 6c = o;

PI

Soit X' le transformé du polynôme X; 1' ce polynôme X' où x'esl II. . 4o

626 DKIXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

remplacé par v'; on a

y/X-y/Y q y/ V - y/r c( p -^- q) ,~, ^ x—y Ûp x'—f Ipq

D'autre part, soient a^ et Ji„ les transformés de a„ et |j„ par la substitution, opérée sur x et \ seulement, on aura

(77) pnn^^n. /^^P/.== "''"^•y'r— =P:,-v;,(:r'-r)^-

Si Ton met a', ,3j, a'^, .... au lieu de a, ^,, a,, . . . , la fraction se reproduit, divisée seulement par/;. On a donc

Si l'on pose

ci p -^ q) /^, 0 , 0 „,

A est un polvnôme du premier degré en x\ B est le produit d'une constante par {x' — ç')*, et l'on retrouve le développement

analogue au développement précédent. Ainsi, à l'exception du premier terme, la fraction qui développe la fonction transformée s'obtient par la substitution linéaire exécutée sur la fraction ellemême, conformément aux égalités (77)- Pour avoir un résultat précis, il convient d'envisager le quotient a| : '^j,i qui, seul, est bien déterminé, puisque l'on peut multiplier a„ et [3,^ par p et p^, 0 étant une arbitraire, sans altérer la fraction autrement qu'en la multipliant par p.

Soient «„, a,, ... les coefficients de X et a],, a'j, ... ceux de X'. On a

TT = ?(-^' 7' ;. «0, «1, ...) = -wr-

CIIAI'UHE XIV. — INTÉGRALES PSEUDO-F.LLIPTIQrES. G27

Mais, d'après le dcveloppciiicnl (yS),

Va

on conchil donc

c'csl-à-dire que o est un covariant du polynôme X, avec trois variables x^y^ \. La fraction continue elle-même, sauf son premier terme, jM'ut ainsi èlrc envisagée comme un covariant. C'est la raison pour laquelle, dans le paragraphe précédent, les résultats, démontrés jiour un cas particulier, se sont étendus à un cas plus général, mais qui se ramène au premier par une substitution linéaire.

A ce point de vue, les développements où \ est infini peuvent être considérés comme les types les plus généraux. Si, au con- Iraue, on laisse ; indéterminé, on peut fixer jk ii volonté, le supposer infini, par exemple, et prendre alors pour tviie le développement de y'X — \' a^x-.

Exemples.

Nous donnerons des exemples de fractions périodiques ; on peut prendre les autres au hasard.

' - = (^ — 3j — 24 : [ix — in- 9 : \ix — m- 24 :(./■ — 3 -f- ^

— -^— =(jr -^2)4-18 .-(.r — 8;— 18 1(07 — 8) -18 : ( r-i- V.4- ^-^

Ces fractions continues convergent toujours, sauf si x est léel et compris entre o et i, ou bien entre \ et 9; sauf aussi aux |K)ints

GaS DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

croscillallon, qui existent seulement pour les trois dernières; ce sont .r = > pour la troisième, .r :=: pour la quatrième, x = — i pour la cinquième, comme on le pourra vérifier. Pour la dernière,

par exemple, les réduites, avec x = — i, sont i, — i, — ']■■, i,

., ^ > I, — 1, .... Les réduites de rau"' 3, 6, ... conver- 3280 ' ' o '

:,ie. reuuue., avec a: = - 1 , .ont x , - . , - '''

gent rapidement vers — 1.

II. r = 4, X ={T--T- ax ^ b)- — ^abx—ix- — a.T -^ by--\- ^ax^. C'est un exemple de transformation par substitution linéaire :

V^X ={x--^ ax -^ b )— i-ab :(x -^ a)

-^ b : (x -^ a) — 2ab :{x--^ ax -\- b -{- /x),

y/X =(6 — ax -h x- )^ a.ax^ :(b — ax)

-^ bx^ :( b — ax i-T- lax^ :{b — ax -+- x--h- yX ) .

La première oscille pour ^ = o; elle donne périodiquement les réduites b, — ^, suivies d'une fraction qui converge vers dz Z^, selon que, en valeur absolue, on a b^a- ou b<ia'-. Pour la seconde, le point d'oscillation est à l'infini.