III. r = 5, X—i\ — X — 8:r2)(i — ^x

y/X =(i — 5x — 11 X-) — lix^ 1(1 — Sx)

-T-i2a72:(i — ^x j-^i-ix^ :(i — 8x ) — i^x^ :\i — 5x — \ix- -^ v^^)i/x =(i — 'jx \ — i2 3'2:(i — -ix) — iix- : (^i — ^x)

— 4^^-(i — 4^) — I2ar2(i — "xx) — iix^'.ii — Sx -^ y/X ) .

Ce sont les deux développements de la racine carrée du polynôme du troisième degré suivant les puissances ascendantes de x. Le second développement difTère entièrement du premier; l'argugument «, qui correspond à .r = o, est donc un dixième de période.

Les coupures sont, l'une comprise entre ( ^^33 -+-1 ) et —ce,

l'autre entre - et -r (v/33 — i ). Pour la première fraction, il v a un g ,6 V . 1 ' .

[toinl d'oscillation, x z^ — ^;les réduites de rang ^n-t-i con-

CH.VPITUE XIV. — INTÉGRALES PSEUDO-ELLIPTIQLES. G29

vergcnt vers 4- y X et celles de rani; ^n -■- 3, vers — y/X. Pour la seconde fraction, il v a deux points d'oscillation, a' = - el x = i.

Intégrales pseudo-elliptiques, en général (' )•

Soit U une fonction rationnelle de x. Après Viiu-ersion, elle devient une fonction doublement périodique de m, qui reste, comme x, inaltérée par le changement de a en — a — v. Voici donc sous quelle forme elle se décompose en éléments simples :

' R = c -H 2i /i f ^ (u — Uy) — Ç iu -\- u^-^ v)]

j -^Z nii \p (« — ^^l)-^JJ (k — Ui-h v)]

<7\)^ '. ^I.m\[p'(.a—Ui)—p'(u-:-Ui-hi>)]

j -i- ^ /n'[ [p"i II — «1 ) -^ ,p"( ic -+- U\ ■+- V )]

Les signes de sommation s'appliquent à divers termes correspondant aux divers pôles ?/(, u-2i • • . •

Dans chaque crochet de la seconde ligne, ajoutons

— pu — p(u -7- «').

et, pour compenser, adjoignons le terme

( 8o) inpu -i- mpi u -^ V ), /n~^mi.

Ce terme réservé, la seconde ligne ne contient plus que des différences de fonctions p. L'intégrale se compose de différences de fonctions t/, elle est donc doublement périodique, fonction rationnelle de oC et de y X, par conséquent. Elle se reproduit, changée de signe, par le changement de u en — u — ç; elle est donc de la forme Py X, où P est rationnelle. Les termes des lignes suivantes sont aussi les dérivées de fonctions ayant cette même forme. Il existe donc une fonction rationnelle P, telle que la différence

U — ;7~ ' '^ V-^ ' ^^ r('duise aux termes de la première ligne et aux

termes (8o). En mettant dx : y X, au lieu de r///. on peut énoncer ainsi ce résultat :

('; yoir l. I, p. 20(j.

Il étant une fonction rationnelle de x et\. un polynôme du quatrième degré, on peut trouver une autre fonction rationnelle P, telle que la différence

également rationnelle, ail uniquement, en dénominateur, des racines simples, que ces racines dijfèrent, toutes, de celles de X, et que le degré du numérateur surpasse de deux unités, au plus, le degré du dénominatet/r. Tels sont, en effet, les caractères d'une fonction rationnelle dont la décomposition fournit seulement les termes delà première ligne (79) avec les termes (80). Ces derniers, dans l'intégration, fournissent la somme de deux fonctions ^, réductible à une seule fonction ^, mais qui ne peut disparaître. Pour que l'intégrale de R : ^/X soit pseudo-elliptique, il faut d'abord que ce terme manque. De là, cette conséquence :pour que l'intégrale de R : \]y>^ soit pseudo-elliptique,il faut, en premier lieu, que le degré du numérateur de la fonction réduite surpasse dhine unité, au plus, le degré du dénominateur.

Supposons remplie cette dernière condition et raisonnons sur la fonction réduite S. L'intégrale se borne maintenant à celle des termes de la première ligne :

-idi — ui )

ci[ u -t- ui — v )

(81) fidii = loge"' I I

Prenons quelques-uns des facteurs soumis au signe logarithmique et mettons l'ensemble des termes correspondants sons

la forme — log/, en posant

Pour que y soit doublement périodique, rationnelle, par conséquent, en X et y X, il faut que les exposants /, u. soient entiers et que la somme des racines égale la somme des pôles, sauf une période. On doit donc avoir, en tenant compte d'un terme où //, serait nul,

(82) nv -r niiïui-^vj-h 112(2 U2-r V )->-...= 2G),

CIIAIMTHE XIV. — IXTÉGRALES PSEUDO-ELLIPTIQl ES. 03 1

/?, //,, /?,. • . (5tanL (les nombres cnlicrs; en otilre, (83, i='i = -'==...= 4-

Pour que l'iulcgrale [S\) soit pscudo-clllplique. il faut et il sulfit qu'elle se compose de la somme de plusieurs pareils termes

- log./". La fonction S est alors la somme de plusieurs autres, L,

satisfaisant séparément aux conditions (82, 83V Soit .ri la valeur de J' cpii répond à l'argument ?/, ; on a

formule de décomposition en éléments simples, qui s'établit par les procédés habituels. Rappelons-nous maintenant les formules d'inversion (t. I, p. 120)

pour conclure

,— cl r -iiu — u^^ "l«i ni \/\i , / V «0 -7- 'o^ — -, — ; = i- '^'1

^ du " L O-f K i- ll-X-r- V)\ X — X-i '

A", désigne une constante, donl l'expression est la suivante :

Al = — «1 V «0 [C«i -+- ^1 ui -T- V )\.

Les divers facteurs de/ fournissent à L des termes analogues, dont il faut excepter celui qui correspond à u^ = o :

v/ao -r 'og ^7 , =— n v/ao-^' -♦- Z^"-

au L tf ( a r- r ) J

Le type général de la fonction est donc ( ' )

L — — n v^ao a? -h • — - — -! —

X — Xi X — X-î

( ' ) A propos de cette forme ( 84 ), voir dans les Œuvres de Jacobi, t. II, p. 49^- Le facteur de V intégrale de troisième espèce, suivant la dcsignalion adoptée par Jacobi, est, pour cluiquc partie de L, le nombre n, ou /?, ou /!,, etc.

()32 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIO>S.

La constante K pourrait olrc exprimée explicitement par des rendions elliptiques ; mais son expression ne serait pas utile.

Avec une fonction L, de cette forme (84), où les arguments //,, f/o. . . . satisfont à la condition (82), et la constante K étant convenablement choisie, le quotient L : yX est la dérivée logarithmique d'une fonction rationnelle en x et y X.

La somme de diverses fonctions analogues L, multipliées par des constantes, constitue, de la manière la plus générale, la fonction réduite S.

Intégrales pseudo-elliptiques tirées des fractions continues. Considérons la fraction continue générale (28 )

ri

et sa m''""' réduite 8^= Gm'. H//o o«btenue en s'arrêtant au quotient y.,„. Suivant l'égalité (68 >, on a

(85) XA„,= G,,(^-yO-HjWY^-H,„/X^

D'ailleurs, )./«,«, par les égalités (67, -i), est exprimé sous forme elliptique. En y introduisant les arguments C) elc,n^\ dej^i et àeym+i^ d'après la relation (20), nous avons

<^{U — C„i+i ) crC M -H Cl -i- C)

Nos fractions continues fournissent ainsi, par leurs réduites, des intégrales pseudo-elliptiques à volonté. La fonction logX/i„^ est, par rapport à x, l'intégrale de L : ^ X > et L a l'expression suivante, conforme à l'égalité (84) :

Il nous faut déterminer la constante C, ce qui se fait immédiatement, si l'on observe que L se réduit à C pour ^ = x. Soit