DEUXIÈME PARTIE
Dans les intégrales d'Abel, on peut se borner au calcul de réduites moins éloignées. Quand la période est impaire (/■ impair), on a déjà observé que, pour l'indice n ^ r,(f -h i), y,i est racine de X. En s'arrêtant donc à la réduite de rang v(''* — i), on borne encore L à deux termes. C'est ainsi que, dans le dernier exemple, on a aussi
X = .r(.r2 — .r — 8){cr — g), Gç,= x^ — i3a72-i- 28r -f- 72, Ho =37 — 8,
yX
G,- Hov/X
Quand la période est paire (/'pair), les r d'indices ^r~\-i et -/■ -h 2. sont égaux, à cause de la symétrie; mais les deux quantités \^Y correspondantes sont égales et de signes opposés. En prenant ilonc deux intégrales, relatives aux réduites de rang ^/- et ^/- -4- i , et les ajoutant entre elles, on retrouve l'intégrale d'Abel.
Pour ces fractions périodiques, l'expression (86) de \hr a un grand intérêt au point de vue des fonctions elliptiques. Soit /b = 2(0. On a Cr^i =: c, H- 2(7); par conséquent,
(j( u — a) ^{1 y^u — a-hb)
Nous retrouvons ici ces fonctions doublement périodiques, de seconde espèce, dont il a été déjà parlé (t. I, p. 224) et dont les multiplicateurs sont des racines de l'unité :
iri
Nous avons donc (en changeant la constante C)
Ainsi les fractions périodiques fournissent les expressions algébriques de ces fonctions spéciales, dont on verra, dans le tome III, le rôle important. L'expression, qu'on vient de trouver, contient
CIIAriTRE XIV. - INTÉGRALES PSELDO-F.LMPTIQLES. GSj
y, en a|)j);ircnce ; mais la ionclion ne dOpcnd point de celle variable; on peut la calculer par une fraction particulière. C'est, au surplus, ce qu'on vient de voir déjà pour les Intégrales correspondantes. Si Ton prend le développement de \ X, on doit s'arrêter à la réduite de rang r — i, puisque c'est au rang /■ qu il se trouve une fonction ^ supprimée. On a, en ce cas,
'.\o(u--aY= ;— ( Gr-i — Hr-
C'est ainsi que les deux fractions de l'exemple III (p. 628; donnent, toutes deux, parla dernière réduite de la première période,
C[o(m — a )]* = —, Il — i- X — J1X- — 6^ x^ — 5i2J-'
— iS8x'-!-{i — iix — 2^x--r- 6.\x^ ) v'X].
Eu appliquant la formule (8- 1 successivement aux diverses réduites d'une fraction continue, on trouve autant d'intégrales pseudo-elliptiques. Mais, quand la fraction est périodique, le nombre des intégrales distinctes est limité. C'est ainsi que la première fraction de l'exemple III donne seulement deux intégrales :
Gj = I — 5x — nx-, G2 = I — iZx -T- 2Sx-— ~7.X^,
J \^ 1 v/X ^ Gî^HîA
Semblablement, la seconde fraction de l'exemple III donne
\~- Sx — y/X 5x4- v'x' /*/4 8 \ dx , I — ~x — ix'- — \ — 'ix){/S.
Les fractions non périodiques donnent une infinité d'intégrales;
aussi deux intégrales
038 UEL'xitîME l'AnriE. -- applications.
c'est de cette source que nous allons tirer la solullon complète (lu problème général qu'offre cette théorie.
Recherche générale des intégrales pseudo-elliptiques.
Le pro])lème général consisterait en ceci : la fonction L (Hant définie par l'égalité (84), traduire en termes algébriques l'expression elliptique de la constante K et la relation (82) entre
Xi^Xi, . . ., mo^'ennant quoi L ; ^X est la dérivée logarithmique d'une fonction rationnelle en ce et y,''X. Résolvons d'abord le problème suivant :
EtanL donnée une fonction rationnelle \^^ de la forme (S^)-, on peut en trouver une autre T, ne comprenant cjue deux fractions, avec des numérateurs é^aux à l'unité,
de telle sorte que (2L H- T) : y/X soit la dérivée logarithmique d'une fonction rationnelle en x et y X. On demande de trouver T.
Il doit être entendu que z ou z' peuvent être infinis; la fraction correspondante se change alors en yja^x. On va voir que g est ad libitum.
Ayant pris z à volonté, considérons la fraction continue qui sert à développer
suivant les puissances ascendantes àc x — x \ et prenons la réduite de rang «,. Elle fournit l'expression explicite de l'intégrale pseudo-elliptique formée avec la quantité (87), que nous appellerons L,, de même que nous mettrons z^ au lieu dej',„^, :
X — Xy X — Z X — Zi
