CII.VI'ITIIE XIV. — IMÉGIIALKS l'SEL'UO-ELLU'TIQLES. GSq

Considérons ensuite la fraction continue qui développe

suivant les puissances ascendantes de x — X2 et prenons la réduite de rang z/^; elle fournit l'expression de rinlégralc pseudo- <Hipti(juc, formée avec Lo,

j 9./i, \'\.. \/Z, \/Zi ,

J^2 -1 ~- [- lj2>

vl ainsi de suite. Si L contient le premier terme — ii\JaQX^ on considérera, de même, à tel rang qu'on voudra, le développement d'une quantité analogue aux précédentes suivant les puissances descendantes de x. Ajoutant ensemble les fonctions L,, L^, . . . , on obtient 2 L -t- T ; car il ne reste, des fractions \JL l x — z, que la première et la dernière. L'existence de T est prouvée et son mode de formation nous est maintenant connu.

Le problème de compléter L par une fonction simple, comme T, se trouve, au moyen du théorème précédent, résolu sans l'introduction d'aucune irrationnelle. EUcctivcment, )Jao,\/'^t , y/Xo,.-* sont des données, et l'on pourra toujours choisir z de manière que y/Z soit rationnelle; par exemple, on pourra prendre z = x^.

On peut choisir, pour z^ une racine de X; en co cas, Tne comprend qu'une seule fraction; mais cette opération exige la résolution de l'équation X = o. C'est cependant, pour le cas où une racine de X est rationnelle, le meilleur procédé à suivre ; au point de vue théorique, d'ailleurs, il importe de mentionner cette conséquence :

Moyennant la connaissance cl' une racine de X, on peut réduire T à la forme

C'est, en particulier, ce qui peut se faire, en prenant z' infini, quand X est du troisième degré. La première fraction continue que l'on doit alors employer est celle du développement de y/X sous la première forme (35).

Pour revenir maintenant au premier problème, il suffit d'ob-

64o DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

servei" que, si L '. yX es/ lu dériKcc logarilkmiqae cV une fonction rationnelle en x et y/X, T est nul identiquement.

En efTel, les intégrales partielles sont les logarithmes de diverses fonctions À/i,„, dans lesquelles, suivant l'égalité (86), la somme des racines est égale à la somme des pôles. On a donc, par leur ensemble, au lieu de la relation (82), celle-ci

nnv -h 2«i(2?/i -T- v)-i- ^n^iiUi^ V )-h. . .-i-(2.c -+- V ) — {2c' -r- v) — o.

De là, daprès la relation 1^82 1, qui doit avoir lieu suivant les hypothèses et c, c' étant les arguments de ^ et de z',

Les arguments c et c' diffèrent donc d'une période ; donc z := z , y/'Z = \/7j' . Mais l'intégrale de T : y X devant être pseudo-elliptique, T ne peut être une constante; donc T est nul identiquement.

Exemples.

En appliquant la proposition précédente, on peut parfois apporter quelques simplifications au calcul, comme on va voir dans l'exemple suivant. Ayant

on demande de trouver T.

Prenons le développement de y/X suivant les puissances descendantes de jp, en nous arrêtant à la deuxième réduite et calculant le reste :

2 v/X -t- "ix- — I

dx ix^ — x'^-^1 — {•i.x — i)y/%.

Ai-°

y/X IX^ — X'^-r- "i. -^{"iX — \) y X