CHAIMTRK XIV. - INTÉGRALES PSEUDO-ELLIPTIQUES

Prenons le développement de

suivant les puissances ascendantes de x, en nous arrêtant à la première réduite :

Ici :-2 est infini, et Ton a

- 2 7 I r. dx , i -^ X -~ T- — i/X L.> = — h - — — ^ — X , / Lo — rr = los ■ î^ •

- X 7.{ix^6) 1 J ^/x ^ I ^ a; -I- a;2 ^ ^/X

En retranchant L, de Lo, on obtient

L = L2 — Lj -T- a: — 9., A T — 2 — a:, ce qui fournit lintégralc pseudo-elliptique

Cette dernière résulte plus facilement du développement (suivant les puissances descendantes de x)

^/X + ar2 l

Ce développement, que nous bornons ici à la première réduite, donne jv'2= — i, ce qui est une racine de X, en sorte que la fonction L a deux termes, au lieu de trois :

I \ dx , a?2 — I -I- i/X

~ IX -y-i -—- = lofir 5-=.

Autres exemples.

Prenons, sous le radical, le polynôme

et supposons connue une intégrale pseudo-elliptique

Soit h une racine cubique imaginaire de l'unité. On aura deux nouvelles intégrales par le changement de ;r en 0.r; puis, par addition, en posant

o,a:)=/(a7)^/(0ar) -4- /(ôîa-», on aura les intégrales

Nous omettons la combinaison

F(a7)-^F(9ar) + F(92^),

pour laquelle la différentielle aurait la forme

...T^dx

et ne présenterait aucun intérêt, tandis que, parleur définition, o et y ont la propriété

o(Qx) = ff{x), y^Cix) = 6y^(x),

en sorte que Ton a

o(x) = rsi(x^), yjx) = xyi(x^),

Of et y, désignant des fonctions rationnelles. Nous allons former des exemples. Soient

On en conclut (t. I, p. 96)

'l^iu) — "ixix^-^- 4).

.Soit Xi^ — \4? répondant ainsi à un tiers de période. Pre-

CIlAlMTUi: \IV. — INTÉGIIALES PSEUDO-KI-LlPTlnil-S. G\li

nous linU-grale j)S(nKlo-clli|»li(|iic corrcsjioiulaiile. iV cel cflel, écrivons X sous la forme (43rt)