TT /! U'^ I

fin', v')— o {u ,v ) = h arc tang -.

-T- 2 > — ;— ^-^ — r-, — jr:- sin 2 n u

/'(«', p') — !p'(u', c') = - -4- arc tang ( -. )

— 2 > —7 — ^-^ — jT-x — VT7, sin 2 n II

Les nouvelles fonctions arc tang qui figurent dans les égalités (69) sont définies, à la circonférence près, par le calcul qui les amène, II. 3

ainsi qu'il a été expliqué plus haul pour les analogues : ces deux arcs ont leur cosinus du même signe que sinali. De même, les deux nouveaux ares, qui figurent dans les relations (70), ont des cosinus du même signe que sinaO. Quant à ceux qui apparaissent dans la deuxième égalité (69) et dans la première égalité (70), ils sont précisés, comme plus haut (p. 3i ) l'a été

arc tans r-- cot

Arrivons maintenant au calcul des angles auxiliaires cî^, 'ffl, ^6, arguments des quantités imaginaires Ile, n^, n^ (52). On a d'abord

La lettre \ représente ± i. Remarquons que le changement du signe de i^ correspond au changement de Ven son inverse. D'après le sens précis de la fonction arc tang, on a •

arc taniï — tt— ; : = — arc tang^

'2 V*- siii 211/ V 2 V

On peut donc écrire plus simplement

Une remarque semblable s'applique aux deux autres formule que nous allons composer.

Pour ramener l'argument de II^ à l'une des combinaisons (69), employons les formules d'addition des demi-périodes (t.I, p. 196) ainsi (')

:f(u-\-v±oj)=^e ■ ' U s'a (a-4- p),

, , ,, ±l]' (n + i'±iu>') Lî , -'-^

3'i(i< — t'zp co )= e '■ ' j- cf.2{u — i>)e *•

(') Le lecteur n'aura garde de confondre ici les deux acceptions de la lettre U. Ce défaut de notation n'a pu être évité.