CHAPITRE I. — FORMULES ELLIPTIQUES POUR LÀ. ROTATION DES CORPS. 3y
((39, 70), nous avons les formules ci-après
arc ta I
Jmà n{i-hq") V«
2 V si i Vî« .
nu/
sin/ît) ;
^ -^ I = arc tanK
~— , cotu
= — H arctang
2U cosu
> — -r^ :,i — ï^ cos/it) ;
arctang ( — =^— - —
■2\ COSU
^ /2(I — gr") \"
- /i — 7iU2 \
= arctang | ^ ..■com )
2 "Vi-^g'ilJ^ /
-r- 2 > — :jr ■ rr sinwt».
Si Ton remonte aux formules (53), on a maintenant les développements des six angles d'Euler par le moyen des angles •le, 'la, '^b, développés dans les égalités (6-) et Oa, ^b, ^c dans les égalités actuelles (yS).
Formules de Cinématique.
Dans les Chapitres suivants, on fera plusieurs fois usage des formules fondamentales de la Cinématique, relatives à la rotation des corps solides. Nous allons les rappeler.
Soient a, b, c des axes rectangulaires et p, q, r les com)30santes d'une rotation instantanée autour d'une droite passant à leur origine. Soient a, ^, y les coordonnées d'un point de l'espace et t le temps. Par l'effet de la rotation, le point (a, [i, y) se déplace et les composantes de sa vitesse instantanée sont les suivantes :
■^^=q^i-r% -Jj=r.-py, -l=p^-qa..
Les sens de rotation positifs autour des axes a, 6, c sont ici supposés conformes aux conventions habituelles.
Supposons maintenant trois axes rectangulaires x^y^ z-, de même origine que a, b, c et entraînés dans la rotation. Prenons d'abord le point (a, ^, y) sur l'axe ; à distance unité de l'origine; les égalités précédentes donnent celles-ci :
cl cos az ,
= q cos cz — r cos bz,
dt ^
, d cos bz
(74) ( 1 = rcosa^ — /? cosc;;,
d cos cz ,
; =p cos bz — q cos az.
dt ^ ^
En prenant le point (a, ^, y) sur les axes x ou y, on aurait des égalités toutes semblables où z serait remplacé par x ou y. Posons, pour abréger,
cHa = ces ax -+- i cos ay, cJUo = cos ax — i cos ay ; 'ifb = cos bx -+- i cos by, olbo = cos bx — i cos by ; G = cos ex -r- i cos cy, Gq = cos ex — icosey.
On déduit de ces égalités, par exemple,
dX ^ . d.U ^ .
et, par suite,
(75) Jl,o^-.l,^° =^(XoG-JloGo)-r(,Ulft)-«A>^''o);
mais on a, suivant (i3),
Jloolft? — Xlftjo = 2i(cos«:r cos by — cos«/ cosbx) — liz coscz,
ClIAIMTRi: 1. — FORMULES ELLIPTIQUES POUR LA ROTATION DES CORPS. 3ç)
£ étant le caractère ± i de congruence pour les deux systèmes d'axes. Semblablemcnl , par j>orniulalion circtilairc,
Gi)X — BA^o — >' i'- cos bz.
Au lieu de légalité (70), on pciil donc écrire
eJlao — r- — =1. — ; — — 2 t £( O COS 6^ -f- /" COS C-S ),
dt dl ^^ '
OU bien, divisant par r,l,nl,Q= sin-rtc,
I dA> I c?«vl)o . q cosbz -^ r coscz
X ~di X^ dt —~~-' sin^as '
,1 f/i)!i I rfllbo • /• coscG -f- /? cosaz
r f/G I f/3o .pco?,az-^(/cosbz
Q Tfi ~ Bo dt ~ ' ' s\n-cz
Les équations (7/1) et ces dernières (76) sont celles que nous voulions rappeler ici. Dans ces dernières, on peut faire apparaître Irois angles d'Eulcr d'après la formule (34), qui donne
d , ^ a cos bz -+- r cos cz
-y- (az, x) = — £ ■ — ^— 7
dt^ ' sxvi^az
d ,, , /• COSC-3 -+- » C0S«3
-y{bz,X)^—Z ^— y ,
dl^ ' sin2 bz
d , . o cos az -I- <7 cos 65
dt^ ' sxxv^cz
Représentation elliptique d'une rotation.
Dans la représentation elliptique des cosinus des angles que font entre eux les axes des deux systèmes «, b^ c et x^y, ^, on peut supposer, pour les .arguments u, v et la quantité G, des fonctions arbitraires du temps. On aura ainsi une rotation quelconque. Nous allons chercher les expressions des composantes de la vitesse de cette rotation. Appliquant à cette reclierche les formules de Cinématique qui viennent d'clre rappelées, nous avons besoin d'abord des dérivées de co9>az, etc.
La formule (9) montre déjà que la dérivée de cos az par rapport à u est le produit de cosbz coscz et d'un facteur indépen-
4o DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
tlanl de ;/, cl il n'y aurait pas de difficulté à trouver, par celte voie, ce facteur. Mais voici un moyen plus rapide. La formule (2) nous donne (t. I, p. 3^)
dcosaz p' u p'u(pi> — en)
icosaz — j = — '^- — r = — - — -^. -,
du p(^' — "Ja) — ea {e-jL — e^){eoL — ey)
tandis que nous avons, d'autre part (Sp),
(Ca — ^h)(^q — ^V )(^-| — ^a) cosaz cosbz coscz — —p'up'v.
Ces deux égalités, divisées membre à membre, fournissent celle-ci :
1 dcosaz (g^-^i-XP^-gg)
lit cosbz coscz du p' i>
4\pv—e^ pv—ej
La symétrie, qui existe entre les demi-périodes et aussi entre les deux arguments m, c, permet de conclure comme il suit : Posons
K = il P'^ , B=^ P'^ , C = ^-^^, .
2 pv—Cr^ -2 j)t'— ep 2 pv—e-i
; , it p'u it pu it pu
^"^ ^ a pu— Col 2 pu--e^ x pu— e-
dt dt dt dt dt dt
et nous aurons
dco?,az .„„ „„ ,
= (B — C ) coso^ cosc^,
dt ^ '
, d cosbz , „„ . „ (78) { -, =(G — A j cosc^cosa^,
dt
dcoscz
di
(A" — B") cosa-3 cosbz.
Avant de poursuivre, remarquons que ces équations attirent l'attention sur les combinaisons
A cos^a-G — B cos"^ bz ~ C cos^cx; A'cos'^az — B'cos2 6z-i- C'cos^c^,
