CHAPITRE I. — FORMILES ELLIPTIQUES POUR I.A ROTATION DES CORPS

(jiii doivent être indépendantes, l'une de //, raulre de r. Eflectivenient, d'après l'expression (2) de cos- az, la première combinaison peut s'écrire ainsi :

il pvV P"-^^ ^ if ,,y pu-e^

ce qui est zéro d'après une proposition élémentaire d'Algèbre. Le même résultat a lieu pour la seconde combinaison. On a donc

(79) A"cos-«-: -f- B'cos^ bjs -+- C"cos-c3 = o.

La comparaison des équations (78) avec les équations générales (74) montre que les rapports respectifs de p, g, r à cos«;, cosbz-, cosc; dillèrcnt de A", B", C" par une même quantité p, en sorte qu'on a

(80) p = {\" -t- p) cosaz, g — (B"-T- p) cosbz, r— - (G"-!- p) coscc.

Cette quantité p a une signification bien simple ; c'est la composante de la rotation sur l'axe z ; car, d'après (79), on a

(81) p = p cos az -\- q cosbz -^ r cos cz.

Il s'agit de trouver 0. Pour ce but, prenons l'une quelconque des équations (76), la première par exemple. Son premier membre s'obtient immédiatement par la dlfférentiation logarithmique dans l'expression (1) de -X et ^X^q :

1 dG

<Â> dt

Ao dt

' G dt

Lie

Son second membre, d'après (8i), peut s'écrire

p — p cosaz ./ A" cos^ az

— — -— 21-1 p ,cos2a;:

D'après rcxprcssion (2) de cos-az cl celle (77) de A', on a

A'cos-az il p'u pu — e^ piv — w^j — «a

I — cos^a;: "~ 2 pj< — e» p(i' — coa) — e» p(p — toa) — pw

^ if P'"

2 p(t' — loa) — p"'

Celte fonclion de c, décomposée en élémcnls simples, prend la forme (t. T. p. i38)

A'cOS^aZ i^-ry, y/ N v 1

1 — cos^a^ -x

Le même calcul étant répété avec échange de u et c, on obtienl

. \"co^^ az du

I — cos^rtc dt '- ' "

d^'ry. N v/ T /y du ^ dv\

-^ -j-fV^K^'-^ ii — My,) — ^(ç— u — Moi)] — lUv-^ -h C«^J-

Ce sont justement les deux derniers termes du second membre

(82) qui sont ici mis en évidence, de sorte qu'il reste

,Q,. 1 ^G -y du dv

(83) ■^^^—izo — tv-.-^—tu — ; G dt ' dt dt

de là l'inconnue

/o/\ ■ ( ^ dG du dv

])ar où, avec les formules (80), le problème proposé se trouve résolu.