LES MOUVEMENTS A L.\ POINSOT
iMouvcmcnts à la Poinsot. — Rotation diin corps qui uest soumis à aucune force. — Éléments géométriques du mouvement à la Poinsot. — Représentation des mouvements à la Poinsot par des fonctions elliptiques. — Distinction des divers cas relativement à la base. — Sur la période du mouvement. — Détermination des éléments géométriques et des éléments elliptiques les uns par les autres. — Équations de l'herpolhodie. — Angle sous-tendu par un arc complet de l'herpolhodie. — Points d'inflexion de l'herpolhodie. — Diverses formes de l'herpolhodie. — Développements en séries pour les divers éléments d'un mouvement à la Poinsot. — Résumé de la représentation d'un mouvement à la Poinsot par des séries. — Cas particuliers. — Composition d'un mouvement à la Poinsot avec une rotation uniforme autour de la perpendiculaire au plan roulant. — Définition des mouvements à la Poinsot concordants. — Relations entre les éléments variables de deux mouvements concordants. — Sur uc cas particulier de la concordance. — Herpolhodics fermées et herpolhodies algébriques.
Mouvements à la Poinsot.
Nous appellerons mouvement à la Poinsot une relation continue dont, à chaque instant, les composantes sur trois axes iîxes sont dans des rapports constants avec les coordonnées d'un point mobile dans Tespace, mais invariable dans la figure en rotation.
Comment celte définition se rattache immédiatement à celle qu'a donnée Poinsot pour la rotation des corps solides qui ne sont soumis à aucune force, c'est ce qu'on va d'abord faire voir.
( ' ) Auteurs à consulter : Poinsot, Théorie nouvelle de la rotation des corps {Journal de Math., i" série, t. XVI ; i85i). — Jacobi, Sur la rotation d'un corps {Journal de Crelle, t. XXXIX, 18^9, et Œuvres complètes, t. II). — Somoïf, Journal de Crelle, t. XLII. — Brill, Annali di Mateniatica, série II, t. III. — SiACci, Memorie délia Societa italiana délie Scienze, série III, t. III. — IIerhite, Sur quelques applications des /onctions elliptiques. Paris, Gauthier-Villars; i885. — WiLHELM Hess, Bas Rollen einer Flàche zweiten Grades auf einerinvariabeln Ebenc. Thèse, Munich: 1880.
Quant à la manière dont cette dcfinllion ramène aussitôt l'étude de ces mouvements aux matières du Chapitre précédent, c'est ce qu'on exposera un j)cu plus loin.
Rotation d'un corps solide qui n'est soumis à aucune force.
Soient —, p, — les moments d'inertie du corps solide autour
de ses trois axes principaux, axes «, b, c\ soient /?, ^, /• les composantes, prises sur ces axes, de la rotation instantanée, changée de sens. Les équations différentielles du mouvement, connues depuis Euler, sont les suivantes :
I clr / I I \
Les sens de rotation sont supposés ici les mêmes que dans le Chapitre I (p. 38). Les lettres/», </, r, d'après la convention faite, peuvent être considérées comme les composantes de la rotation relative de l'espace par rapport au corps supposé fixe. Si l'on suppose trouvées ces composantes en fonction du temps, pour avoir ensuite les cosinus des angles que «, ^, c font avec une droites arbitraire, fixe dans l'espace, on emploiera les équations (I, j4)' Ce sont des équations différentielles et linéaires. Il est clair que l'on peut prendre, pour les trois cosinus, trois quantités proportionnelles à celles qui forment un système quelconque de solutions; par ce moyen, en effet, on choisit la droite z dans l'espace. Or la comparaison des équations actuelles (i) et des équations dont nous venons de parler (I, j4) fournit le système de solutions suivant :
, a^ cosaz b^cosbz c^ coscz
(2) = = = const.
La rotation relative de l'espace par rapport à un corps solide qui n'est soumis à aucune force extérieure est donc un mouvement
