CHAPITRE I. — FÛinill.ES ELUl' llnlKS l'Ol II LA KOTATION DES CORPS
trois axes les Irois arclcs d'un liièdre trircctangic. Ainsi, juciudU les formules (i), puis y clian géant successivemenl a en b ou c, tL)3( en Wg ou Wy, avec r,a en. r^a our^^^, tout en conscnant u, r, G, on a une représentation des cosinus des neuf angles que font entre eux deux systèmes d^axes rectangulaires «, ^, c, et X, y, z.
Quand on fait correspondre deux à deux les axes de chacun des deux systèmes, comme a avec x, b avec y et c avec ^, on peut rencontrer deux cas différents : ou bien les deux systèmes sont congrucnts, c'est-à-dire qu'on peut transporter l'un d'eux de telle sorte que les axes correspondants coïncident en position el en sens ; ou bien cela est impossible et les deux systèmes sont incongruents. La distinction de ces deux cas, comme on le sait, se fait au moyen de la quantité
, . co^ax cosby — cosaycosô.r- (i3) ■
ou d'une quelconque des huit analogues obtenues par permutation circulaire de a, 6, c ou de x, y, z. Ces neuf quantités sont toutes égales à + I si les axes sont congruents, à — i dans le cas opposé. Ainsi l'unité positive ou négative £ est le caractère de congruence des deux systèmes d'axes.
Cherchons dans les formules (i) actuelles le caractère de congruence. A cet effet, après avoir, dans la relation (lo), échangé a et ^, comme précédemment, retranchons les deux égalités membre à membre, au lieu de les ajouter. C'est alors le terme W(a) qui disparaît et le terme suivant qui se conserve. Transformons d'abord la quantité entre crochets : c'est une fonction doublement périodique ordinaire de r ; exprimons-la en produit de facteurs, ce qui est aisé, ses racines étant évidentes. iSous aurons ainsi
l{v — ojp ) — l{v — lOjt) -^ T,j^ — r;3t
'(V U).j) J ( f OJg)
s DElXifeMK PARTIE. — APPLICATIONS.
et il en résuUo
I cosbx — /cos6j')(cosaiF-4- icosaj) — {cosbx-T- ico?'bf)(cosax— icosby)
Cm o'p
Comme il a déjà été fait au tome I (p. ig5), nous supposerons, poui' la svmétrie, les trois demi-périodes lo^, Wg, Wy liées par la relation
CO^ — Wq -4- (0 - = O.
Sauf la première exponentielle, le dernier membre est alors, d'après (i), 2 cosc:;, et Ton a
cofiaxcosby — cosbx cosay i r.aWi-r.w,
COSC-S l
Telle est l'expression du caractère de congruence. On sait (t. I. p. 196) que l'exposant de e est ici un multiple impair de
— • On a donc
l r.^tog— r, gtOa= (2/.-— i)^, (i5) ^ P P 2
Sur la décomposition d'une somme en un produit.
L'analyse actuelle nous offre, toute composée, une des innombrables formules particulières que l'on peut déduire des méthodes générales de décomposition. Nous la mentionnons uniquement en vue de l'usage qui va en être fait.
Parmi les relations qui ont lieu entre les neuf cosinus, prenons celle-ci
\ (cos ax -^ i cos ay) {cos ax — ico?,ay) = 2,
oîi le signe sommatoire indique qu'on devra successivement remplacer a par «, b, c. En mettant pour cosa^ m ico?,ay l'exprès-
CnAPlTIlF. I. — FORMLLKS ELLIPTIQUES POIR L.V ROTATION DES CORPS. ()
sien (i) et chassant les dénominateurs, on oblicnl lu foiinulc en question
(Il
elle signe sommatoire indique qu'on doit mettre successivement toa, w^, Wy, r.a, r,|î, r,y pour to et r,.
Cette même formule peut encore s'écrire autrement, si Ton y met r et r, au lieu de v -f- u et c — a,
(i6) ^ G'(t' — co)3'(Pi — w) 3'2a)e^i(''+«'.-2w' = — as"-^ ' "^ ' ' s'^ ^ ~ ^ ' • (1)
C'est un cas particulier d'une formule plus générale que nous allons obtenir. Prenons la fonction
, , , :f(ii — p-T-w)3'(« — w)
^ ' ' . ^ ' ' '' r-u:!{^v — w):fw
qui, relativement à w, diffère seulement par la notation et par un facteur constant de la fonction doublement périodique de seconde espèce (7) envisagée dans ce Chapitre. L'élément simple correspondant <ï>(w) sera
!^ U dv
(18) o(j<, C, w)= — ^'{u)— [Ç(t,cp)Ç,i.]<I>(M).
Multiplions les deux membres par cette fonction de c,
(19) /(p)=3'(t'— «Oe"''^,
et l'on pourra écrire la formule ainsi
Soit A la somme (16); soit aussi S la somme obtenue en prenant successivement pour w les trois demi-périodes et multipliant chacune des fonctions 'f(«, ^S w) parle terme correspondant de A. On aura
,211 S =ya'(i^ — io)3'(^P,— w)?2oje'''"'^'''"^'"'o(«, t^, tu).
Dans celte somme, chaque multiplicateur de cp a, relativement à 4' et sauf un facteur indépendant de c, la forme ci-dessus y"(v'). On a donc, suivant (20),
dv ^
Remplaçons A par le second membre (16) et nous aurons
ou, suivant (18),
Si enfin nous remplaçons S et '.2 par leurs expressions (i~, 21), il nous vient, les dénominateurs chassés,
y o-C i< - w) ^( «i — r -4- to ) ^-C 1^1 - co ) a- w 6'"''''+'''-"^'
Ci)
Cette formule prend un aspect plus symétrique si l'on écrit u, r, w au lieu de u, v — u, (^,,
u ri c rr cv
le produit, indiqué par H au second membre, s'applique aux quatre facteurs obtenus par les diverses combinaisons des signes =+r.
Composition des trièdres trirectangles.
Soient trois systèmes d'axes rectangulaires a, b, c; Xq, yo, Zq] j:,, j',, z-i. On donne les cosinus des angles que font les axes «, b, c avec les six autres axes, et l'on demande les cosinus des angles que font entre eux ces six autres axes. C'est ce problème
