CUAPITRR 11. — LES MOUVEMENTS A LA POINSOT

à la P(^iiisot, lel <|iril vii'iU d'être défini. Eircclivciiienl, f/-, />-, csonl des conslanlcs, et les trois cosinus sont les coordonnées, par rapport aux axes a, 0, c, diiii poiut fixe dans le svslèiiie d'ax<'s

La proposition inverse n'csl pas exacte sans restriction • un mouvement à la Poinsot n'est pas toujours la rotation relative de resj)ace par rapport à un corps solide qui n'est soumis à aucune force. En efi'el, les moments d'inertie, non seulement sont positifs, mais encore soumis à une condition d'inégalité très connue, consistant en ce que les trois quantités, telles que —, -i- -7-; — —5 soient ' ' ^ a- 0^ c-

positives. En d'autres termes, a-, b-, c- sont les carrés des axes d'un ellipsoïde, et cet ellipsoïde est soumis encore à des restrictions, sans quoi il ne pourrait être ellipsoïde d'inertie.

Éléments géométriques du mouvement à la Poinsot.

Dans l'étude des mouvements à la Poinsot, nous continuerons à figurer par les égalités (2) la proportionnalité des cosinus aux composantes de la rotation; mais il sera entendu que a-, b-, c- seront des quantités réelles quelconques, positives ou négatives. Toutefois, l'une au moins pourra être censée positive; car il suffit de changer le sens de l'axe :; pour changer les signes de ces quantités. Ainsi rt-, b-, c- seront les carrés des axes d'une surface du second degré à centre et réelle, ayant pour équation

Cette surface, qui est fixe dans le mouvement considéré, sera dite la base du mouvement à la Poinsot, et nous allons reconnaître son rôle.

Deux intégrales immédiates des équations (i) font connaître que les deux ([uanlités

sont constantes. En désignant par h et n deux longueurs, on

pourra poser

Pi ^21 ^ !l -^-, ± ,

rt* ' Z»* c* n- h-

Si, en outre, ou prend trois longueurs «', b' , c' proportionnelles à p, q, r,

on aura, au lieu des égalités précédentes, celles-ci :

dont la première nous apprend que «', V ^ c' sont les coordonnées d'un point variable sur la base du mouvement, et la seconde que le plan tangent de la base en ce point est à une distance constante h du centre de la base.

Les équations (a, 3, /() nous donnent ensuite

,^. ha' , hb' hc'

(3) cosa^ = — r- j coso^ = -7— ) cos cz = — -j

«2 (yi. (.1

et font voir que lax^e z est constamment perpendiculaire à ce plan tangent.

Voici donc la conclusion :

Si un plan roule sur une surface du second degré en restant à une distance fixe du centre, et avec une vitesse de rotation constamment proportionnelle à la distance du centre au point de contact, sa rotation constitue, de la manière la plus générale, un mouvement à la Poinsot.

Représentation des mouvements à la Poinsot par des fonctions elliptiques.

Les formules du Chapitre I nous offrent immédiatement la représentation des mouvemeuts à la Poinsot. Si Ton suppose, en

r.llAlMTIlK 11. — LES MOLVEMEMS A LA POLNSOÏ. !\']

cllol, l'un des argumenls ;/, v conslaiil, raiilrc variant proporlidiinellenicnl au temps; si, en <>utie, on [)ren(l pour G une exponentielle dont Toxposanl soit une l'onction linéaire du temps, alors les (piantités p, A", B", C" (I, 84, 77) sont des constantes, et (1, 80) />, «7, /' ont, avec cosrt;, cos//c, coscs respectivement, des rapports constants.

Soit un mouvement à la Poinsot ainsi représenté, clicrclions l'expression elliptique des constantes géométriques.

En premier lieu, nous avons (I, 81)

(b) ? = p cosa^ ~ q cosw- -;- /■ cosc^ = — (. — ^(__j =^-.

Les rapports de/>, q, r aux trois cosinus sont les suivants :

«2 nh

q h^^ cosbz iih^

cos az

cos cz

Ces rapports doivent reproduire (I, 80) les quantités A" -f- 0, B"+o, C"-h p. On a donc

nh ' nh ' nh '

Ainsi se trouvent exprimées sans difficulté les quantités -' -^^ ^ * n nh

b^ c- — T5 — T j seuls éléments géométriques que l'homogénéité permette

de déterminer. \ oici les expressions explicites obtenues en remplaçant A", B", C" par leurs expressions actuelles. La constante ^-

sera représentée par -

„ , 1 du a

G — /:c>'", - ,- = dt n

1 a-— h^ it\x j)' V 1 nh

inh c2 ~ /f2 nh m pv — Cy

2 Ai

i e;jl

Pv-e^

Nous supposerons, comme dans les développements formés au Chapitre I, u à partie variable réelle, en sorte que \x soit une longueur réelle comme n, et tout à Tuil arbitraire.

Il s'agit maintenant de trouver inversement les éléments ellip-

tiques, étant donnes -i — r, — r» — r •

Multipliant trois à trois ou deux à deux les équations (7) membre à membre, on obtient

ii^h^ x \n ] l

(i2/,2)(c2/i2) /jj,\2

1^^ = (rj (^--P'')'

Ces équations déterminent, en fonction des données et de l'arbitraire - 1 les trois racines Ca? ^p? <?y (dont la somme est nulle),

ainsi que pv^ et ^ v. L'argument v est ainsi défini, à une période près. Il reste encore à déterminer l'argument variable u en fonction des éléments géométriques variables du mouvement. Tirons d'abord une conséquence des équations (8), savoir

avec deux similaires. Multipliant membre à membre les trois pareilles égalités et tenant compte de la première (8), on conclut

^'°^ ^ £ (a2^2)(^>2 c2)Cc2 a2) pV

Cette équation, rapprochée de cette autre, trouvée précédemment (I, 39),

ç.o%az cos bz cos cz {e^,— e ,^{6,^— e^){e-^ — e%)— — -,p u-^ ,