FF^ '°'"^^"= U

avec deux similaires. Par ces égalités (i i) et (12) se trouve délerminé l'argument u à des périodes près.

Il y a cependant une observation à faire encore sur la détermination des arguments u, r. Dans la formule (12) apparaît le carré seulement de cos-rt:;,en sorte que le choix de u par cette formule et la précédente (i i) n'assure pas de trouver, pour les trois cosinus de az, h:, cz, les mêmes valeurs que par les formules (I, 1) primitives, mais seulement les mêmes valeurs au signe près. D'ailleurs, quand les signes de deux cosinus sont fixés, la formule (11) assure le signe du troisième en conformité avec les formules primitives. D'après ce qu'on a vu au Chapitre I (p. 19), on change à volonté les signes d'un des cosinus en ajoutant à M + f une période 2to, et le signe d'un autre cosinus en ajoutant encore à u -\- v une période 2w'. Donc, en résumé, u et V sont déterminés chacun à des périodes près, mais leur somme à une double période près. Sur ce point de détail, on gagnera en ])récision et en clarté si l'on fixe les indices a, ^, y, et c'est ce que nous allons faire en nous conformant au choix déjà fait dans le Chapitre I (p- 19).

Distinction des divers cas relativement à la base.

Nous supposons, comme au Chapitre I (p. 19), a=i, ^ =: 3, Y= 2. L'argument v est purement imaginaire, à une demi-période réelle près, en sorte que jjt» est entre e^ et C).

5o DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

T.;i distinction des cas est fondée sur le signe de la quanlilé {6, 10)

En supposant d'abord données les formules elliptiques, prenons la seconde expression de cette quantité. Si l'on a égard aux grandeurs et aux signes des dénominateurs (7), à savoir

pp — ^3 >p(' — C. >0>pt^ — Cl,

on reconnaît que :

i** bi r-^ ^ >> o, il en resuite

2° bi r^^ -^-r- <' o, il en resuite

Par la troisième expression de it^h p' v, on voit que son signe, le même que celui de (a- — b-){b- — c-)(c- — a-), est bien, comme on vient de le trouver, plus dans le premier cas, moins dans le second.

Si l'on se place au point de vue opposé, supposant donnée la ligure géométrique, on devra dénommer b- le carré moyen des demi-axes 5 cela étant, le carré Ji- de la distance du plan roulant au centre est compris entre b- et l'un des carrés des demi-axes extrêmes; c'est ce dernier qu'on désignera par a'-. La distinction des deux cas dépend ensuite du signe de [a- — b-) (b- — c-) (c- — a-). Il y correspond une distinction géométrique dont nous allons dire un mot.

On appelle polhodie le lieu du point de contact du plan roulant, sur la base. C'est une courbe du quatrième degré, formée de deux anneaux ou roues symétriques par rapport au centre, et il suffit de considérer une de ces roues qui a, elle-même, pour axe de symétrie ou essieu un axe de la surface base.

Dans le premier cas, c-^ b-"^ h-'^ a-, b- et c-, supérieurs à h-, sont positifs, a- peut être positif ou négatif. La base est un ellipsoïde ou un hyperboloïde à une nappe. Si c'est un ellipsoïde.

ciiM'iiiti: II. — i.i:s MniVK>ii:.MS V i.a i-oinsot. i i

la distance du conlic au plan roulaiil csl ini)iiulrc que le dcini-a\(; nioNcn, et la polhodie a pour essieu le [)elil axe. Si c'esL un liypcrboloïde, la polhodie a pour essieu l'axe non Iransverse; elle ne traverse pas l'ellipse de gorge.

Dans le second cas, c-<< h- <^li- <^a-^ la base peut être ellipsoïde, hyperholoïde à une nappe ou hyperboloïde à deux nappes. Si c'est un ellipsoïde, la [)olhodic a pour essieu le grand axe ; si c'est un hyperboloïde à une nappe, la polhodie a pour essieu le grand axe de Tellipse de gorge. Au cas de l'hyperboloïde à deux nappes, l'essieu est nécessairement l'axe transverse.

En résumé, le choix des indices a = i, , j = 3, y = >. a pour elTet d'afTecter la lettre b à l'axe moyen et la lettre a à l'axe qui est l'essieu de la polhodie. Dans ce qui va suivre, nous nous conformerons à ce choix des indices.

Sur la période du mouvement.

Prenons les formules (42) du Chapitre 1, en y supposant l'argument réel u' variable. Sa variation est proportionnelle au temps; nous pouvons, d'ailleurs, sans restriction, la borner dans l'étendue

d'une période, de zéro à ato. Nous pouvons aussi supposer —

compris entre zéro et — r-* Dans ces conditions, —1-, j , r , s'^c

sont des quantités positives, jjt'' est positif ou négatif en même

temps que - — -. — • De même, ^o?^', jg//' sont toujours positifs, du'

va de zéro à zéro en passant par des valeurs positives et i^ u' a le même signe que (to — a').

Pendant que u' varie de zéro à 20J, cosZ^:; va de zéro à zéro en passant par des valeurs toutes de même signe que ( — i)*, cos«:; conserve toujours le signe de ( — i)'^ et cosc:; prend d'abord des valeurs, soit de même signe que ( — i)'^, soit de signe opposé, suivant la grandeur de v' ^ puis devient nul pour u' = w et prend ensuite des valeurs de signes opposés. La droite ^, partant du plan perpendiculaire à b, exécute ainsi une demi-révolution autour de l'axe a et se trouve, à la fin, dans une position symétrique, par rapport à cet axe, de celle qu'elle occupait d'abord.

Pour la suite du mouvement, il faut faire repasser u' par les mêmes valeurs, mais 5„ est augmenté d'une unité; donc (1,4') les quanlilés ( — i)* el ( — i)'^ changent leurs signes et l'axe z repasse par des positions symétriques des précédentes par rapport à l'axe o. Quand l'argument u s'est augmenté de /\iù^ la position initiale de Taxe z est reprise. Ainsi 4w est la période du mouvement do Taxe :;. La période de temps est /\m-- Bien entendu, le

inouvcmcnl des autres axes x, j', dont il sera parlé plus loin, n'est pas périodique.

Pour préciser les arguments u et v de la manière la plus complète, c'est-à-dire à une double période près, la considération de cosaz et cosbz suffit donc. Ayant pris les mêmes notations qu'au