Chapitre P'' (I, 4o) et supposant u' compris entre zéro et 2w, -r

compris entre zéro et ^^, on voit que toujours cosa:; a le signe de ( — i)*^, et cos6^ le signe de ( — i)*.

Détermination des éléments géométriques et des éléments elliptiques les uns par les autres.

La première question à résoudre est celle-ci : Etant données les demi-périodes to^, to^, toy, la quantité G, les arguments m, ç et le

rapport constant - = -j-, déterminer les éléments géométriques

du mouvement à la Poinsot, défini par les formules, et la position de la figure mobile qui correspond à l'argument u.

Pour résoudre cette question, prenons une longueur à volonté n, positive ou négative, et par les formules (6, '-), déterminons h, a-, b'-^ C-. Nous avons ainsi la surface base du mouvement; soient a, 6, c ses axes dans des sens ad libitam. Par rapport à ces axes, la situation actuelle des axes mobiles x^ y, z est donnée par les formules (I, i). Le diamètre conjugué des plans perpendiculaires à z est l'axe de la rotation instantanée, et cette rotation est entièrement déterminée parce fait que sa projection sur z est- (p. 47)-

La deuxième question à résoudre est inverse : Étant donnés les nombres ( -) , (- ) 5 ( - ) ? les axes a, 6, c en direction, la posi-

CIIAPITIUÎ II. — LES MOUVEMENTS A I.A POIXSOT. 53

li(tn aciiicllc des a\cs mobiles .r, r, z et la projection p de la rolalioii inslantanée sur :;, Irouver les foriiuiles elli|)Li([ucs. l'oiir résoutlrc celte question, rappelons-nous (pie /t = no. Clioisissons donc les lettres r/, b, c, de telle sorte que p soit com[)ris entre

( - ) et (- ) > ce qui sera toujours possible, sans quoi les données

seraient incompatibles avec un mouvement à la Poinsot. Prenons

a(/ libitum ^ et déterminons par les formules (8,9, 11, \'i) les

racines e,, 6-2, <?3, puis les arguments u et c, tous deux à des périodes près, par exemple et provisoirement, u — w' entre zéro et >, co -,

~ ^'^ entre zéro et -4-- De cette manière les formules (I, 4;^) Jon-

nenl, pour cosa:^, cos bz, des quantités ayant les mêmes signes respectivement que ( — i)'^et( — i)*. Mais ces cosinus sont donnés, et ont, par conséquent, des signes connus. On devra donc prendre ( — i)^ et ( — i)* des mêmes signes respectifs que les cosinus donnés cosaz, cosbz. Par là, si l'on a déjà choisi les deux périodes w^ (Oq, qui doivent différer de (o et to' par des périodes seulement, on détermine s\^-i- s'^ et 5„ + s^,, c'est-à-dire la somme (u ^ v) à une double période près. Quant aux demi-périodes m^, (Oo, elles doivent satisfaire à la condition que ( — i)«+6+c+) reproduise le caractère de congruence dz 1 des axes donnés, c'est-à-dire( — iya+^^+' = $. On pourra, par exemple, prendre

et ajouter à l'un des arguments provisoires u et v la période 2 w' si coscr:; est positif, et la période •20) si cosbz est positif.

L'argument ç étant fixé, la formule (6) donne le coefficient ).. La grandeur actuelle de G est donnée par l'une des quantités cosax ± icosay, et, puisque u est choisi, on en déduit la quantité k.

Équations de l'herpolhodie.

Si l'on considère le mouvement relatif de la base par ra|)port au plan roulant, qu'on envisage ainsi la surface comme roulant sur ce plan supposé fixe, le lieu du point de contact est, dansée plan, une courbe, généralement transcendante, nommée herpolhodie.

54 DEUXIÈME PAUTir. — API'I.IC.VTIONS.

A ce point de vue, les axes J^,j', z- sont censés fixes et les axes /t, h, 'c mobiles. JNous envisagerons alors les axes x, y comme avant leur origine dans le plan, au pied de la perpendiculaire menée du centre. Soient, par rapport à ces axes, X|, j'i les coordonnées du point de contact, point qui engendre TherpoUiodiè, et dont les coordonnées sont «', b' ^ c' par rapport aux axes a, b, c. iVous avons

^1-+- O'i — -«'(COSrt37 -{- t COSO^),

ce qu'on peut écrire, d'après (5),

Xi-h ly'i = > — y — cosaz{cosax -+- i cosay),

car la somme I,cosaz{cosax -h i cosay) est nulle, Substituant, pour — - — et ses semblables, les expressions (7), nous obtenons

(i3) ^i-!-'J'i = — — ^- — ~ cosaz{cosax -^ icosaj).

Écrivant le produit cosaz(cosax -\- i cosay) sous la forme suivante (I, i)

-=7 cosaz(cosax -+- i cosay)

nous avons une fonction doublement périodique de seconde espèce (t. I, Cliap. VII), dont la décomposition, par rapport à u, se fait, au

moven de l'élément simple — — — > et donne le résultat suivant:

^^ ^' ^ (du :fu:fi> ^^^ ' ^ (iur^v \

Observons d'abord que la somme des trois quantités rf' lOaC"^»*^» est nulle (t. I, p. 194)- H en résulte que, en transportant cette expression dans la formule (i3), on voit disparaître la dérivée de l'élément simple. D'autre part, on a

tf+io^e

-2ïlaWa

(^a — eQ)(ea — e^j p w»

CIlAl'ITIii: II. — LES MOL'VEMEMS A LA POINSOT. 00

Ij'ck'nicnl simple, dans la somme (i3), csl donc multiplie par p'p et par la somme

Ceci n'esl aulre que la décomposition en élémenls simples de la

lonclion Ç-i qui a les trois racines simples ix>n,. avec les résidus

~ — , cl devient nulle avec r. 11 reste donc la formule bien simple

P wa '■

('4) x,-^iyi = -it^G- ^ .

Comme d'ailleurs le cliangemenl de c en — c et de G en ^ équivaut, dans les formules initiales (I, i), au changement de i en — /, on a on même temps

(>5) r,-iy, = itr.- ^^^^^ ;

d'où, multipliant membre à membre, on obtient le carré du rayon vecteur sous la forme

(i6) ^\-^y] = \^- i^^h =\>-Kp^'-vu).

^ - Il j ' w

Pour mettre les formules (14)5 (i^) sous forme explicitement réelle, supposons d'abord m =:: w'+ u' ^ v = lù -\- v' ; il vient ainsi

c'est-à-dire, en supposant to,^ = o et co,, = o dans l'expression de G'

(17) X, -f-t>-i = — jï,uG'

UU' o'sif'o'ic'

Mais, d'après la marche suivie pour parvenir à X\ + iys^ on reconnaît que celte formule est générale, quels que soient u et v. On a de même

G UU ij^u (j^v La quantité fixe jjr est comprise entre CoCl e^ , tandis que la quan-

tllé variable pu oscille entrées ele^. Le carré du rayon vecteur (i 6) passe périodiquement par la suite des valeurs comprises entre le minimum [^^■(p^' — ^o) et le maximum [J--(j3t> — e;j), obtenus tous deux au passage de u par une demi-période. Soit w une de ces demi-périodes; si l'on donne à u l'une ou l'autre des valeurs wzb w", on obtient une seule et même valeur de x'^ -+-}']• L'angle polaire y se déduit de la relation

e y. = : — — (jr^ —

^i — iyi a'{u — v)

d'où l'on conclut (6)

OU encore (t. I, p. i38)

dy ih I p'v

du [j. 2 1 p t" — pu

Cette dérivée, elle aussi, prend une seule et même valeur, si l'on y met, pour u^ l'une ou l'autre des quantités 10 ± u" . On conclut de là que l'herpolhodie a pour axe de symétrie chacun des rayons vecteurs niaxima et chacun des rayons vecteurs minima. Elle se reproduit ainsi périodiquement, quant à la grandeur et au temps, par arcs successifs. Un arc complet est décrit pendant que u varie dans l'étendue d'une période 2(o ; il est compris, par exemple, entre deux rayons vecteurs minima successifs. L'arc qui répond à une période du mouvement de l'axe z est double.

Angle sous-tendu par un arc complet de l'herpolhodie.

L'expression (i4) de Xi -h /y, fait voir que, par l'addition de 2 Cl) à l'argument u, Xf -+- iyt se reproduit multiplié par

îlYjc — w;f w )

L'angle sous-tendu par un arc complet de l'herpolhodie est donc