CHAPITRE 11. — LES MOUVEMENTS A LA POINSOT

— ct) H — -{'^iV — w^^'), sauf un inullipic de 'tr.. Celle indétermination est nécessaire et résulte elle-même de l'indétermination de V. Pour la faire disparaître, recourons à l'intégration dans la formule (19). Soit yo l'angle compris cnlrc un rayon maximum et le rajon minimum voisin, obtenus en faisant varier successivement //depuis (25^ -h i)w'-i-2 5«(ojusqu'à(2 5^+ i)oy-J-(2 5„H- i)c.j. Si l'on fait aller // jusqu'à (25)^ -f- 1)10' + (2.ç„ + 2)0^, on aura l'angle 2-/0 sous-lendu par l'arc complet. Ainsi, d'après (19),

— -^ -. !:t' ) oj H- — . / l{u'-\-vi)du' f, = (2^;, — i)a)'-H 2 5„oj-^ ('= (2S^, — 2sl,-4- r)oi'~ (2S„-i- 25^ -4- i)to-t- v',

Vi = (25^^-r- l)to'-f- 2Sii<J} — V = (2 v'„ 2.s'^,-^ IJOj'-f- (2S„ — 2 5^ l)OJ — v' .

supposons, ce qui est permis, — compris entre r et H — ^ •

Nous aurons alors (t. I, p. 201)

/ ^{u'-^ Vi)du' — 2T,({^, -r- a>) — (2S',( -f- "2 s'^. -h l)f-,

Uu'-^

v-i ) du' = 2 T, ( ^'2 -H w ) — ( 2 5'„ — 2 5^ -;- I ) f - ;

2 1 l--.rPt.J-i- ' ■ — — 1S^-

[th 1 ^ \ 2T, t^

2 ( ! — ; !: (' w -!- — . - — 'ls^,^:,

Xo

formule où l'on suppose essentiellement

o/ t» — C2S(,-Hl)w 2s[,Co' ^ o/

Dans un paragraphe précédent, il a été dit que le mouvement à la Poinsot n'est pas périodique par rapport aux axes x^ y. Dans ce mouvement, le rayon vecteur de l'herpolhodie reprend, à la fin

d'une pt-riode, la position qu'il avait au début de cette période. 11 est dés lors visible que la rotation relative 4/0 est produite par le mouvement des a\esx,j'. Ainsi, dans le mouvement à la Poinsot, les axes ^, j' tournent périodiquement autour de l'axe z d'un angle qui est, en valeur absolue, 4/o5 ^ i'» multiple près de la circonférence.

Nous aurons tout à l'heure, on ('ludiant la forme de l'herpol-

hodie, à employer les valeurs de ~ aux sommets de la courbe.

La comparaison des égalités (ujr/, y) nous donne à cet égard les résultats suivants

' r/« / 1 [Ji A ' \duJ-2 [J-h \ du J 3 \xli

où i -j- \ désigne la valeur de -—■ pour j3w ^=- e,- La première de

ces quantités, celle d'indice 1, ne joue aucun rôle ici ; les deux autres sont relatives aux sommets.

Points d'inflexion de l'herpolliodie.

Soit posé, pour abréger,

a7i-^tjKi = X, a-i — î>, = Y,

ii\Y

■i-^yt

les accents servant à dénoter les dérivées prises par rapport à u. Le signe de T décide le sens de la convexité en chaque point; l'évanouissement de T correspond aux points d'inflexion. Pour calculer T, considérons les deux fonctions

\e ^ =— iz\xk — ■' e-"?",

,. — -— « ieatf(M — V) y

Ye V- = il L '-e^",

k ^wiv

dont chacune satisfait à l'équation difl'érentielle (t. T, p. 235)

cnApmii: ii. — les molvkments a la polnsot. 09

Soil, pour abréger,

on aura, on substiluant dans r(''([ualion tliflcrenlielle, X''= 2mi\' -+- {2.pu -{- pv -^ m-)\,

Y" = 2 Mit Y' -h (-2 p U -r- pV -r- fU^ ) Y,

(2\) T == — am^ Y -^ ^(2?"-^^^^-+- »i^) ( X ■" Y )'

D'autre pari,

X' . I p'u — pV

- = mi H — — ,

A 2 pu — p V

— = — nii-^ - ^— ,

\ 'zpu — pi'

X Y 4 (j3i< — p(;)2 V'"" 2 pu — pv)

p'^uA-pvpu-{-p^i> — ):g<i-^mip'v

pu — pv

X' Y' . p'v .dy

-r-r -TT = 2 mi = 2 l -~ •

A Y pu — pv du

En substiluant "t" -y et v ^ v" ^^^^ '^ second membre (24) et

réduisant au dénominateur commun, on voit disparaître, dans le numérateur, le carré àe pu. Ce numérateur devient linéaire en pu ; une seule valeur de pu le fait évanouir. 11 s'agit de reconnaître si cette valeur dejjw est comprise, comme il convient, entre Co et 63. A cet elTet, on prendra les valeurs deT pour pu = (?2 et pour pu = e^^ et l'on examinera si ces valeurs ont un même signe ou des signes opposés. Quand on prend ainsi, pour m, une demipériode, p'u est nul cl Ton a

X ~ Y ~ ' rf« ' en sorte que, pour ;/ = lOr^, il vient (24)