CHAPITRE I. — I-OUMILI-S ELLIPTIQl i:S POIR LA ROTATION DES CORPS. I I

que, pour abréger, l'on désigne par le mol de composition des trièdres Irirectangles, problème résolu par des formules élémentaires de Géométrie analytique, mais qu'il s'agit de résoudre explicitement au moyen de la représentation elliptique précédente.

On supposera les cosinus exprimés, par les formules ci-dessus, au moyen des mêmes fonctions elliptiques dans les deux cas, mais avec des quantités Go, «o? ^'o pour les axes ^oi J'o? ^o et des quantités différentes G) , «i , i'i pour les axes ^i , y^ , :;, .

Pour résoudre le problème, on cherchera ici trois quantités seulement

co?,ZqXi-t- icoszoyx, co?,ZiXQ-^ icosz^yo, cosziZq,

f[ui suffisent à déterminer les neuf cosinus. En premier lieu, les conjuguées des deux premières s'en déduisent par les relations

fCOS^O^l-r- l COS5oJKl)(COS-ôoa7i l COS^oJKl)

= (cos^ia7o-i- i cos^ijKo)(coszia7o — i cos^ijKo) = i — co?,^ z^z^^

Quant aux autres cosinus, ils se déterminent aussi, sans ambiguïté, par la quadruple relation suivante, où l et y prennent à volonté et séparément les valeurs ± \J — i,

icosa^oa^i -I- i cosxo/i -i-y cos/o^i -^ ij cosjKo^i (cos^o^i + icoszQyi ) (cos^iaro -+-y cos^i^o) ij — cos-co-^i

Ce défaut d'ambiguïté tient à ce que, dans le cas actuel, les caractères de congruence des deux systèmes Xq^ y^, Zq et ^,, j/, , z-t par rapport ka, b,c coïncident, puisqu'ils dépendent seulement des demi-périodes. Les deux systèmes ont donc entre eux le caractère -\-i. Dans le cas, au contraire, où l'on aurait deux systèmes incongruents , il faudrait, au dénominateur de la formule (24)} remplacer ij par — iJ.

Nous ne nous arrêterons pas à prouver ici la formule (24)5 <1"^ est une conséquence facile des relations analogues à la relation de congruence (i3).

D'après une formule élémentaire de Géométrie analytique, on a

(2'j) coszgXizh i cosiîo^i = ^^cosaZ()(cosaxi ~ i cosayi ).

En prenant le signe plus, nous aurons, suivant les formules (i),

= - — - — - — — - > 3'(î/o~ w)3'(ro — co)3'(z<i-^r, — w)e ' » ■ • '

La formule de sommation (ii2) donne donc immédiatement

(26) cosxjoa-i-f- îCûs^oTi = 3 ::: — ^— | l^

Semblablement, en prenant le signe moins, on trouvera

(27) cos-so^i — icos^oKi= — 7^—- — zr~ \ 1^

(ji j «0 3^^'o ^"1 ^'"1 A JL 2

Semblablement aussi, cos;:;,a:o— t cosj^ijKo s'obtiendra par les mêmes formules, où il suffit de transposer les indices o et i.

Par cet écliange , on retrouve les huit mêmes facteurs, mais groupés différemment; d'après la double égalité (28), ceci constitue une seule et même expression pour i — cos-^q^m savoir

• 0 4 TT î'o— ^-'o — "1— f^i

(CTî^o ^t^o ^"1 ^i"i/-

Nous allons par là arriver à l'expression de cos^o^i- Tout d'abord, en posant

on peut transformer l'expression du sinus au moyen de la formule fondamentale {\. I, p. 171) et écrire

, (a— 3)(a'-3')fa-p')(a'-p)

r(a — 3)fa'-3')^(a-^')fa'-p)12

cos2^o-i = i-^in2-o-i= ^ ' , .0 ô^. ■

En extrayant la racine carrée, il reste à fixer le signe, qui est déterminé, puisqu'on pourrait obtenir aussi cos^o^i par la formule

cos-So-Si= ^ cosazocosazi.