CI)'- I— V

— ^ sin juw

Al — a'") \ '" (44) {

2 nu V' C — 7i^" I — U2'« .

puis les angles d'Euler [cz, x), (az, x), ( bz-, x), dans les expressions desquels (I, 53 et 67 ) 0 -|- —. — sera remplacé par 0' — 7;

J2 DEUXIÈMK l'Ainin. — APPLICATIONS.

culin les angles {cz, o), (az, l>), (hz, c) donnés sans modification par les formules (l. y.\ cl ^.3).

Tous les dévcloppemculs où figurent, avec q, les lignes trigonométriques de U, permettent de faire varier II arbitrairement. Ils font apparaître aussi les modifications ti'ès simples que subissent les diverses quantités quand on change U en U + tû. Par exemple, cos«; se reproduit sans changement; cosbz, coscz se reproduisent changés de signe; X) -f- /j', se reproduit multiplié par û-''/."] y se reproduit augmenté de ayo, etc. En un mot, ces développements représentent le mouvement dans toute la suite des temps, mais ils mettent aussi en évidence sa quasi-périodicité. Au contraire, les développements où figure, avec ^,, la quantité U, doivent être envisagés pour des valeurs limitées de U; mais la quasi-périodicité du mouvement laisse ce défaut sans conséquence.

Cas particuliers.

Poinsol, dans son Mémoire célèbre, s'est arrêté spécialement sur les cas particulie/'s qui n exigent pas l'emploi des transcendantes elliptiques ('). Nous retrouverons ici ces cas en supposant les fonctions elliptiques dégénérées, en supposant donc ^ z= G ou bien ^, = o.

L'hypothèse q = o entraîne ù'-=^c'- (33). La surface base est de révolution; l'herpolhodie est un cercle décrit d'un mouvement uniforme.

L'hjpothèse ^, = o entraîne l/-= h- (3G). C'est le cas où l'une des positions du point de contact du plan roulant est au sommet de l'axe moyen sur la surface base. 11 faut alors prendre partout les formules où figure </( et y réduire cette quantité à zéro. La

quantité q est l'unité; log- est infiniment petit, Klog— estune

quantité finie. La formule (3^) montre que -/o est infini. Toute périodicité disparaît ; l'herpolhodie fait une infinité de circonvolutions autour de la projection du centre sur le plan tangent; ce point est asymptotique.

On voit par là que. dans les cas où, sans être nulle, ^i est une

(') Journal de Math., i" série, l. \VI, p. 298.

CIIAIMTItF. II. — LES MOI VKMKMS A I..V POINSOT. jS

(juaulilé 1res pclilc, Icmouvcmeul de Taxe c csl à longue période. Les formules où figure q sont peu propres à l'élude du niouvemonl; celles, au conlrairo, où (igure y, y soiil paifaileincnl apnronriécs.

Composition d'un mouvement à la Poinsot avec une rotation uniforme autour de la perpendiculaire au plan roulant.

A la première inspection des formules fondamenlales (I, i) du Chapitre I, on a reconnu que le changement de la quantité G équivaut à une rotation autour de Taxe ::. Si ion remplace, en effet, G par Ge''^, en supposant les axes «, b, c immobiles, ceci revient à faire tourner le s)'stème x^ y, z autour de z d'un angle égal à — <l.

Dans le mouvement à la Poinsot, la quantité G est une exponentielle dont l'exposant est du premier degré par i-apport au temps; si l'on change dans cet exposant le coefficient du terme variable, sans modifier en rien les autres données elliptiques, on obtient un autre mouvement à la Poinsot qui diffère du premier par une rotation uniforme autour de l'axe z. Ainsi le résultat de la composition d'un mouvement à la Poinsot avec une telle rotation est un autre mouvement à la Poinsot.

La partie variable, dans l'exposant de rexponcnlielle G, est (6)

Soient donc considérés deux mouvements, définis l'un et l'autre par les mêmes formules, sauf changement de G; si l'on distingue par les indices o, i les quantités afférentes à ces deux mouvements Mo, M,, on aura (-)

a\ — h\ b\ — k\ c\ — h\ /iihi^

et le mouvement M, résulte de la composition du mouvement M,)

avec une rotation uniforme autour de ::, de vitesse £ ( — )

dans le sens direct.

^4 DEUXIÈME PARTIE. — ArPLlCATIONS.

Ces faits apparaissent tout aussi nettement clans les développements du dernier paragraphe; on y voit que les deux mouvements sont définis Tun et l'autre par les mêmes formules, sauf changement de la seule constante K. Au point de vue de la Cinématique, tout aussi bien que pour les formules, cette constante K peut être changée sans que le mouvement soit profondément altéré.

C'est pour cette raison que nous n'avons pas rangé, dans le paragraphe précédent, au nombre des cas particuliers, ceux qui sont caractérisés par des valeurs particulières de la constante K. Il y a cependant lieu, au point de vue géométrique, de signaler ceux où — K est choisie égale à la valeur de l'une des séries (33). Si, par exemple, on a

il en résulte a- = o. La surface base est aplatie, se réduit à une simple conique. En ce cas, on a nécessairement c->> Z>->> A-. Cette conique est une ellipse et le point de contact du plan roulant la décrit tout entière. Si — K est égal à la seconde série (33), la courbe est une hyperbole dont a est le demi-axe transverse, et le point de contact du plan roulant décrit sur cette courbe un arc limité : cet arc, en effet, contient seulement les points où la tangente de la courbe esta une distance du centre inférieure à h. Si enfin — R est égal à la troisième série (33), la courbe est une ellipse j mais le point de contact du plan roulant décrit sur la courbe un arc limité.

Ces cas particuliers sont plus simples au point de vue géométrique que le cas général, surtout si l'on envisage le plan comme fixe, la base comme mobile. On voit alors une ellipse ou une hyperbole, de centre fixe, rouler sur un plan. Ce mouvement, combiné avec une rotation du plan autour de la perpendiculaire menée du centre fixe, peut donner une idée nette du mouvement le plus général.

On vient de considérer simultanément deux mouvements à la Poinsot, dont les éléments sont liés par trois relations (4^)- Ceci conduit à une généralisation naturelle dont nous allons parler.

CnAPITHE ir. — LES MOUVEMENTS A I,\ POINSOT. 70

Définitiou des mouvements à la Poinsot concordants.

Soient Jeux mDuvemcnls à la Poinsot, que l'on considère simultanément. Nous les dirons concordants si les fonctions elliptiques qui V correspondent ont un même inxariant absolu et si, en outre, les deux mouvements sont ;50c7//o/ie.Ç; ont une même période de temps.

La concordance, ainsi définie, s'exprime par deux relations entre les éléments des deux mouvements. Nous allons trouver ces relations.

Rappelons-nous qu'un mouvement à la Poinsot est défini par

quatre nombres (^^\ {^^\ (^J", ^ (p. 52).

Nous distinguerons les deux mouvements par les indices o et i, afTectant toutes les lettres relatives à l'un ou à Pautre.

Dans les formules relatives à chacun d'eux, figurent deux constantes entièrement arbitraires, [ji-o, [J^i, qui sont des constantes d'homogénéité. Nous en pouvons disposer de telle sorte que, pour les fonctions elliptiques, l'invariant étant unique, les racines <?,, (?o, ^3 soient, de part et d'autre, les mêmes. Ainsi, la coïncidence de l'invariant absolu est exprimée si l'on dit que l'on peut choisir !j.o et ^^ de telle sorte, que les trois différences analogues à celle-ci,

,,g. {al-hl)(bl-hl) {a\-h\){h\-hl)

soient égales entre elles. En efi^el, d'après les formules (S), ces différences sont, toutes trois, égales à pc, — J^^'o-

D'autre part, la période du temps est, en valeur absolue, 4^ —

pour l'un des mouvements, ^m— pour l'autre (p. Sa). L'isochro-

nisme exiire donc l'c'ffalité des rapports —, — en valeur absolue.

Dans les différences (4^), on peut donc remplacer jj-jj, <x] par n^^ n\. Dès lors, la concordance est exprimée si l'on dit que les trois dijjérences analogues à celle-ci,

{al- lil){bl- 14) {a\-h\)(b-]-h\) \^^ ) ^T-n, i-,-., '

sont égales entre elles.

DElXlÈ'Mi: PARTIi:. — APPLICATIONS.

Au jioiul do vue lie la (^inénialique, on peul prendre ces relalions pour délinillon de la concordance.

Relations entre les éléments variables de deux mouvements concordants.

Considérant deux, mouvements concordants, ou doit chercher les relations qui existent entre les positions des deux figures mobiles, prises en un mémo instant quelconque. Dans la solution de cette question, il entre une constante nouvelle : on peut supposer, en effet, cpie l'une des figures occupe une quelconque de ses positions en un instant initial, oii l'autre figure occupe une position déterminée. Cette supposition faite, la correspondance entre les positions des deux figures se trouve complètement établie.

Les deux figures mobiles sont les deux systèmes d'axes x^^y^^ Zq\ a:*,, j^i, ^|. Nous supposerons, dans la notation, un seul système d'axes fixes a, b, c, comme si les deux surfaces bases avaient les mêmes plans de symétrie.

Les différentielles des arguments variables cIuq., dus sont respectivement — c//, — dt (6). Elles sont donc égales entre elles, en

valeur absolue, comme -S-^, i-^- La somme Uq ± Ui est donc con-

stante. Il est d'ailleurs indifférent de supposer constante soit la somme, soit la différence; car les formules fondamentales (I, i) restent inaltérées si l'on change u^ r, G en — «, — c, — G. Pour la symétrie, nous supposerons la somme constante, et nous poserons

La relation entre les éléments elliptiques variables des deux mouvements est ainsi trouvée. C'est à l'addition des arguments dans les fonctions elliptiques qu'il faut maintenant demander les relations entre les éléments géométriques.

<:1IAPITRF. 11. — LES MOL'VEMENTS A LA POINSOT. 77

Pour ce but, on devra considérer les (juanlilés suivantes :

1 "- P "0 ^- — ^--j-Â^ -(«5 — ^0) («0 — <^o) cos2a-o

I 0 fia /l„

^'"' "" ~ 3„'î/;-2 ^(f''l — l^V(o1 —c\)cos'-azi,

-^ p'Ui, = —TT^^^'l— ^u) ♦/'o — ^0) ('^0 — OG)^osrtwo cos6-ocosc^o.

fl'Q /Iq

-^ j)';/, = T'/T ('^'1 — ^-'î) (^? ~ ^î) (^î — ^î) cosa^i cosbzi cosc^i.

Ces quantités ont circclivenienl la signification elliptique que la notation leur attribue, comme on voit par les formules (ii, 12). Ceci posé pour deux mouvements concordants, il existe deux constantes T-j)t\ ~^p'<', donnant lieu aux deux relations (t. I, p. 3o)

pU„—-']>i- -■- pu^—'zipç

(^U ~Jpu„^-.'-pUi^-'-pi- = :/ ■ .

V2 -.^ pUo—-.-pV J

Ces deux relations ne sont pas indépendantes; les deux constantes T-jji', ~^ p'v ne sont pas toutes deux arbitraires. Cette circonstance, on va le voir, constitue un avantage, et nous allons, pour préciser entièrement, envisager encore d'autres relations.

Considérons langle que font entre eux les deux axes mobiles z-o, Zi. Son cosinus est donné par une formule du Cbapitre I (I, Sa) sous la forme suivante, où nous écrivons t' au lieu de «0 + lit (48; :

( 52) cos ^0-^: =

(fo— i'ij V r^" — (^«-'- ^'l >

Par le théorème d'addition des fonctions '^ {l. I, p. i38), on a (53) ^uo-r-lu,-Z.=-l^'"^-^'"^.

Le second membre peut être exprimé, par le moyen des quan-

tités (49)7 comme il suil. Posons, suivant réi;alilé (12),

en obscrvanl que celte quantité variable A ne change pas par le changement des lettres a, b, c\ puis

/ M I V(al — blMbl — cl)cl — al)

I IN = — • T^-y:^ • C09,aZQ C0s6^o COSC-30

/c-x ] , ( «î — '^rV/'î — c2)(cf — af ) , "1

(33) ', -I TTr^ ^ C0S«^1 COSO^i COSC^i

I ^ £ ^ p'Uq — p'Ui

Désignons encore par A et B les deux constantes

L'égalité (02) nous fournit la relation

(57) A(cosa^o cosa^i -;- cosbzo cos^^j -^ cosc^o cosc^i )-!- 2N+ B = o.

En différentiant, nous allons avoir une nouvelle relation contenant la seule constante A.

Pour faire cette diflerentiation, on a d'abord (48, 54)

d'où résulte, d'après (53, 55)

On a, d'autre part (i, 3, 5),

^cosazo l>% — cl , dt n^ho

CIlAriTUE 11. — LtS MOLVKMK.MS A I.A l'OINSOT. 79

Cl ainsi clos autres analogues. L'éyalilé {S~) donne donc, par différeulialion,

1 A > (— — j — î^ cos^^o cosc-u cos«^i

— = ; =- C0Sy-3i COSC^i CUS«-o -r- 'A =: O.

Après avoir élabli ces formules, envisageons la cjuesliûn iniporlante de déterminer les positions correspondantes des deux figures mobiles dans deux mouvements concordants.

Ce qui justifie l'emploi des relations surabondantes (5o, 5i, 5-, 58), c'est la nécessité de fixer les signes des cosinus. On pourrait assurément v parvenir en suivant la variation de ces cosinus : on devrait, à cet effet, se rappeler seulement que cosrt;: conserve un signe invariable, tandis que cosbz change son signe quand l'argument u passe par une période, et cosc^ quand cet argument passe par une demi-période. Mais, sauf des cas particuliers relativement à l'argument c, on ne pourrait ainsi tirer aucune conclusion.

Si l'on suppose connues les constantes ~-pv^ '^'p'^'j -^j B, on peut déterminer entièrement les cosinus de az^, bz^, cZi correspondant à des cosinus donnés pour rt-^o? ^^o> c^O' Effectivement, la relation (5i) donne t-jdw,, par conséquent A (54) et les carrés des cosinus. La relation (5o) donne l'^p'ui et, par conséquent, N (55); puis l'une ou l'autre des relations (5-, 58) permet de fixer les signes des cosinus eux-mêmes.

11 n'y a d'ailleurs aucun embarras pour choisir les constantes T-jDt', '^p'v. A, B si Ton veut composer un exemple. Ayant pris, en effet, deux mouvements à la Poinsot dont les données satisfassent aux relations de concordance (47)) O'^ peut choisir à volonté, dans ces deux mouvements, les axes ^o et ^, pour correspondants. Les valeurs de A et N, pour cette position, se trouvent déterminées; par la relation (58), on en conclut A, puis B par la relation (jj) et, par les relations (5i, 5o) , t-j^c, T^p't',

On le voit donc, si l'on définit deux mouvements à la Poinsot concordants par la position des deux figures mobiles en un même instant, les constantes A, B, t-jjc, ~^p'v peuvent être envisagées comme des données ; de plus, pour chaque position ultérieure

So DEUXIÈME PARTIE — ArPLICATIO.NS.

d'un (les axes, ^o, par exemple, celle de Taulre axe Zf est déterminée complètement par des formules explicites.

Sur un cas particulier de la concordance.

Le cas particulier suivant doit être signalé surtout à cause de l'application qui en sera faite dans le Chapitre suivant: c'est celui où les deux arguments variables Uq^ u^ ont pour somme une période. Ici les cosinus de ^^o 6t bz^ changent ensemble leurs signes, et de môme ceux de cZq et cz,. Celte circonstance est mise en évidence dans l'égalité (54), où A est nul. Si l'on tient compte de la convention d'après laquelle b- est le carré du demi-axe moyen, c'est-à-dire b^ compris entre a- et c-, on aura, en ne considérant que des radicaux réels et positifs,

v/'«n — ^iî )(<^n — Cq) ^^.^ , yAaf — 6f )( af — cf )

-z (05ct-..«(i — ■ - 1 COSCt^lj

rio/iQ II i II Y

>J{a-^ — bl)(bl — rl) „ sl(a\ — b\){b\ — c\)

CUbt-V^-y — - - r LUhc^*ïj.

v/( cl — a%){ cl — b'I ) „, /( cf — «î )( c\ — b\)

pourront indifféremment être pris séparément égaux à zn I, sous la condition toutefois £'î"£'" = + i, exigée par les relations ( \Ç)).

Herpolliodies fermées et herpolhodies algébriques.

Si l'angle yo est commensurable avec la circonférence, l'iierpolhodie est une courbe fermée. On obtient ce cas, en prenant convenablement K dans la formule (3-).

Si, en même temps, on prend aussi U ^ yo, l'herpolhodie est une courbe algébrique. L'expression [i ^) àe x -\- iy est alors, en effet, une de ces fonctions (t. I, p. 224), qui sont des racines de polynômes entiers en pu et jj'w, en sorte que [x -h ifY'- et [x — iy)"'^ s'expriment algébriquement tous deux au moyen de jj?f. C'est un sujet sur lequel on reviendra, à propos des lignes géodésiques.