CHAPITRE lit. — ROTATION ULN CORPS GRAVE DE RÉVOLUTION. 8l
CHAPITltl' III.
HOTATION DLN CORPS G 15 AVE DE HÉVOLUTION, SLSPENDU PAU UN POINT DE SON AXE ('). — LA COI RBE ÉLASTIOUE GAUCHE.
Étiiialioiis diffcrenlielies. — Inversiou. — Calcul de cosAZ — « cosBZ. — Calcul de cosCX =r t cosCY. — Expressions elliptiques des constantes mécaniques. — Cas particulier où l'ellipsoïde diaertie est une sphère. — Expression des éléments elliptiques par les constantes mécaniques. — Décomposition de la rotation. — Etude du théorème de Jacobi. — Relations entre les deux mouvements composants. — Les éléments du mouvement composé, déduits des mouvements composants. — Propriétés particulières des mouvements composants dans le cas où l'ellipsoïde d'inertie est une sphère. — Les constantes des mouvements composants , déduites de celles du mouvement composé. — Sur un cas particulier.— Mouvement de l'axe du corps grave. — Mouvement relatif de la verticale par rapport au corps. — Le moyen mouvement du plan vertical mesuré dans Iherpolhodie. — Le mouvement du plan vertical mesuré dans l'herpolhodie. — Expression des composantes de la rotation. — Expressions des constantes au moyen du mouvement initial. — Mouvement pendulaire : rotation du plan vertical. — Réaction de la tige du pendule. — Digression sur un cas de l'équation de Lamé. — Sur une distinction entre le pendule à tige et le pendule à fil. — Représentation du mouvement par des séries : moyen mouvement. — Mouvement du plan vertical. — Développement des constantes. — La courbe élastique gauche.
Équations différentielles -
Par corps de révolution, on entend ici un solide dont l'ellipsoïdc central d'inertie est de révolution. On suppose fixé un point de l'axe de révolution; le corps, animé d'un mouvement initial quelconque, est abandonné à l'action de la seule pesanteur. Le
(') Auteurs à consulter : Lacraxge, Mécanique analytique, 3* édition, publiée par .M. J. Bertrand, t. II, p. 233. — Tissot, Thèse de Mécanique {Journal de Math., i" série, t. WII). — Jacodi, Œuvres complètes, t. II. — IIehmite, Sur quelques applications des fonctions elliptiques. — Darbolx, Cours de .Mécanique de M. Despcyrous, t. II. Paris, Ilcrmann ; i88G. — Pliselx, Note sur le mouvement d'un point matériel pesant sur une sphère {Journal de Math., i" série, t. VII).
Sa DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
j>roblcmc qui consisle à Irouvcr le mouvenicnl de ce corps a clé ramené aux quadratures elliptiques parLagrange.
Soient A, B, C les axes rectangulaires, fixes dans le corps, ayant leur origine au point de suspension, el le dernier C, passant par le centre de gravité. Soient aussi t: le ])oids du corps, et c l'ordonnée du centre de gravité, comjUée suivant l'axe C; soil enfin Z un axe fixe et vertical, dirigé dans le sens de la pesanteur. Les moments de la j^esanteur par rapport aux axes A et B sont respectivement — TtccosBZ et +-ccosAZ. Par rapport à l'axe C, le moment est nul, puisque cet axe contient le centre de gravité. Faisant, un iiislant, abstraction de ce fait que le corps est de révolulion, dénotant parP, Q, R les moments d'inertie et par/?, q^ r les composantes de la rotation instantanée autour de A, B, C, ])ar t le temps, on aurait les équations difTérentielles
P ^' ^ ( q — R]cjr — -c cosBZ, O ^ = ( R — P )rp -r- -c cosAZ,
Le corps ('ianl de révolution, les deux moments d'inertie P et Q sont égaux entre eux, quel que soit le point de suspension sur l'axe du corps. La dernière équation montre donc que /' est une constante.
Ecrivant, pour abrc'ger,
(U I' ~ 7-' 77 — ït^j
on a les équations différentielles
(§.(^-.),,--i, COSAZ.
Ln V joignant les é(|ualions cinématiques (1, y4)i oî' /^ 7? >' doivent être changés de signe pour re})résenter les composantes de la
CnAPITRE III. — ROTATION D'lN CORPS GRAVE DE RÉVOLUTION. 83
rotation relative de l'espace par rapport au corps,
(3) -. = (7CosAZ — />cosBZ,
( î ) = r cos HZ — (/ cos CZ,
... rfcnsBZ
(j) =/)cosGZ — /'COS-VZ,
on parvient, comnie il suit, à riiil('gralion.
Multipliant respectivement par p ci q aux deux membres dans les écpiations (2) et ajoutant, on obtient, suivant (3),
dp dq ^ f^ d co? CZ ^ 7lt ~ ^^ ~dl ^ - ^ dj,
et, par conséquent,
(6) />2-^72= 3(oisCZ-4-y).
Multipliant respectivement par cosAZ et cosBZ dans les équations (2). par/) et q dans les équations (4, 5) et ajoutant, on obtient encore, suivant (3),
d . ,., ,,., dcnsCZ
^(/,cosAZ-rycosHZ) = -a— ^-,
d'où résulte
(7) /> cos AZ -^ ^ cos BZ = 0 — xro?GZ.
D'après l'identité
(/JCosAZ— ;rosBZ)î-4-(^cosAZ— /)cosBZj2 = (7>2-r-72)(cos2AZ-4-cos2BZ)
Cl la relation
cos^AZ -^ cos^BZ -h cos-^CZ = 1.
les équations (3, 6, 7) donnent maintenant
(8) r "'" ' ) — 30 — coà2CZ)(cos(:Z — y) — '^^ — ^ c()sCZ;î.
On voit parla que cosCZ est une fonction elliptique du temps /.
Inversion.
Désignant par t une conslanle J'iioniogénéité, posons
(9) cosCZ= y^ip — pu).
La conslanle p doit èlre choisie de IcUe sorle que le polynôme en pw, transformé du polynôme (8), manque du second terme et les invariants elliptiques doivent être pris de telle sorte que le polynôme reproduise p'-u, à un facteur constant près.
Ou sera ainsi conduit à une identité de la forme suivante
l^{pu — pa)(pu — pai){pu — pa.2)
où chaque facteur {pif — po) correspond à l'un des facteurs linéaires de la première paitie du polynôme (8), tandis que {pu — v)- correspond à (0 — acosCZ)-.
Faisant successivement u = a et u = «i dans l'égalité (10), on conclut
f -j.s/pa-^pai^paiipai — v) = p' ai,
d'où résulte
4 ( p « -T- n ai -!- ,p a-, ) =
^^^ •''•'- V pa — pai
donc (t. I, p. 3o)
a2ssiiz (a-f- «1 ).
Il était permis de choisir ad libiLinn les signes dans (i 1); car les signes de a, a, sont arhitraires. Celui de «■> est arbitraire aussi. Nous supposerons donc
(12) a — ai-f- rt2==o,
à quoi il faut ajouter, pourv, celte expression qui reste inaltérée par l'échange des indices
p'apai — p'ai pa (i3) '> = - ^ — , ^ •
COAPITRE III.
ROTATION u'iN CORPS r.RAVK DE RÉVOLUTION.
Les (Jeux rclalions (i 2, laj sulfiscnL à assurer Icxaclitudc de 1 idcnlilé (lo). Pour le vérifier, prenons les deux fonctions
fa = \{\Mi —pa)(pu — pai){pu — pao),
/l« :^ \p'u — ^ ^ -(pU — u) \p U-V- -■' '' -{pu —'A.
Le premier facteur de /i ?/, par construction, a les racines a et «). Comme la somme de ses racines doit faire une période, la troisième racine est a-i. De même, le second facteur a les racines — «, — (7,, — a.^. On en conclut immédiatement l'égalité fu ==/) «, c'est-à-dire l'identité (lo).
Pour identifier le polynôme (lo) avec le transformé du polynôme (8), établissons l'égalité deux à deux des racines des binômes du premier degré corrcspondanl ; posons ainsi
1 = ^--cp — P«)»
Nous avons de la sorte
I— cosCZ= -^ '-^{pu — pa),
