CHAPITRE III. — ROTATION d'in CORPS f.RAVr DE RÉVOLUTION

nous concluons

( L -^ [log(cos.VZ — iCosBZ)— îlng(i — cos^CZi] --/•

rosCZ(o — arosCZ)

1 — eus- CZ

Drconiposant, j)fir rapport à cosCZ., le second membre en fractions simples, on lui donne la forme

2(1 — cosCZ) 2(1 -I- cosGZ)

En faisant dans la dernière égalité (i5) successivement u =: o et // = r/,, puis remplaçant v par son expression (i3), on obtient des expressions elliptiques de o :^ a, savoir

3 pa — pai

En V substituant, au lieu de a, l'expression (i6), nous obtenons

et, d'après les expressions (i5) de i zpcosCZ,

0 — a X p'rt 0 -^ a T p'ai

I — cosCZ ip« — pci i-t-co«CZ M^" — J'<^i

Substituons aussi, dans (22), au lieu do a, l'expression (16), remplaçons '.tll par <^/« et nous avons, au lieu de l'égalité (21), celle-ci

-7- [loir(cos AZ -J- j cosBZ) — \ los(i — cos^CZ;] -f- — p'a — ■ p'»! I p'a I pV/j

pa — prt, 2 p« — p« 2 ,|)« — j)ai

88 DEUXiÈMi: rvuiiK. — applications.

L'intégration se fera parle moyen des (brniulcs (l. I, p. i38)

— ^-- — =—'C(u~-a) — i:(u — a)-\-2.^a, pu—pa

(24) •' — ^— ' — =—i:iU'i-ai)-ht{u — ai)-^-i^ai, i pi' — pci

' =: 7.l{u — aA — i^^a — i^Gi,

\ pa -p«i

qui transforment le second membre en celui-ci

2Ç(a-f- «i) — "Ça — "Coy

D'aulre l)art, les formules (20) donnent j)ar dififérentiation

j i ^logd — C0S2CZ)

(25) . 2 dn ^'

{ =i[^(„«)-^r(«-ai)^r(KH-«)-^r(u + «ri)— 4^«]-

Il nous vient donc

—r- los; (cosAZ -^ i cos BZ)

du ^^ ' -

= -xUa -i- «1) — ^« — v<7, ~ tSu — a) -f- "CXu — «1) — '^^" 1

puis, en intégrant et donnant à la constante arbitraire une forme convenable E,

{ cosAZ -H i cosBZ

(26) 1 -lE J'AI r'flTi r'(a — a) g'(m — a{) pîifrt+n,) — r^-îC^i-Yj".

~ 3'(a — «i) a'(a -4- «i) cr'-i<

La quantité conjuguée s'obtient immédiatement par cette considération que le produit doit donner i — cos-CZ :

/ cosAZ — i cosBZ (26a) i ^ i-ia^as^-iiu-^ a)<^{u-h-a{) -r2^(«H-rt,)-Çn->,-^J" ^ ~" E3'(a — ai)3'(«-l-«i) 3'^K

Calcul de cosCX r± tcosGY.

Soient

3 = cosCX -\- i cosGY,

Go = cos ex — l cos GY,

nilAPlTUi: lit. — nOTATION U IN CORPS GRAYK DE IIÉVOLL'TION". Sq

on a, |)ar les ch'-ineiits de Cinématique (I, yG) (on supjDOSc les axes congriienls, cloue c = + i , et l'on change les signes de p, q par la ukmiic raison fjuau déltul du (^.liapilre),

Go -j- — 3 —7^ = 2 i{p cos AZ -T- q cos BZ ).

Divisant par ££0 = ' — cos-CZ et remplaçant le second membre d'après (jV on obtient

\ d . G 0 — arosCZ 0 — a 0 -f- a

f «-/^ oo 1 — cessez 2(1 — cosCZ) 2(i-T-cosCZ) De là, d'après les ('galilés (i-, 23, 24),

loff- —

du "So j)// — pa p«— p«i = '2;(7 — 2;r/i-i-Ç(// — «)

Ajoutant la dérivée logarithmique (aj) de i — eos'CZ = 32o et divisant par v., nous avons ainsi

-y- logG = X^a — ^*7i -I- X.{u — «)-;- ^(« -^ «1) — 1 X,u.

L'intégration donne maintenant, si l'on met sous une forme convenable la constante arbitraire E,,

(29) cosGX-^ iCosCY = ^ ' ' , ^— r — ; \J e'-^a-X,a,ht^

avec la quantité conjuguée

(30) COSCX - .-COSCY r= '>^^^:^^J'l^^'±^^)^{u-a,) ^-,.^a-?a.)«

Lj ^(a — «i) 3'(rt-(- «1) ■j'^ Il

Expressions elliptiques des constantes mécaniques.

Les données comprennent cinq constantes a, ^, y, 0, /■, dont les quatre premières ont reçu des expressions elliptiques, que nous

90 DELXIÈ.ME PAUTIE. — APPLICATIONS.

allons récapituler d'après les égaillés ci-dessus (i \, \G, i3),

i pai — pa

~ p'ci -^ ,p'^

3-; = 2t2(2p<:/. — jja — j)ai) = ^-^[a ji(a -^- «i) — ,p« — ji^i].

Au lieu des quatre constantes a, |5i, y, o apparaissent, dans les formules, les arguments a, cit qui, avec les invariants des fonctions elliptiques, constituent quatre constantes équivalentes. La constanle d'homogénéité t est ad libitum.

Il s'agit de reconnaître la nature des fonctions elliptiques, c'està-dire le signe de leur discriminant, celle des arguments «, «, et de l'argument variable ii.

Le polynôme (8) doit nécessairement être positif pour des valeurs de cosCZ comprises entre deux limites entre lesquelles oscillera ce cosinus; mais ce polynôme est négatif pour cosCZ=rii i. Les deux limites sont donc comprises entre — i et + i , et ce sont deux racines du polynôme. Les racines sont donc réelles et le discriminant est positif. La troisième racine est Inférieure à — i ou supérieure à -h i , suivant que [i est positif ou négatif.

D'après la relation (g), pu décroît quand cosCZ, croît si [i est positif, ou croît avec cosCZ si ^ est négatif. La troisième racine du polynôme correspond donc toujours à p;< = (?,; les deux autres correspondent aux valeurs Cî et e^ de pu. Donc l'argument u, diminué d'un multiple impair de la demi-période purement imaginaire to', est réel.

D'autre part, pa et p«i correspondent à cosCZ = ±i. L'un d'eux est entre e^ et f?i, l'autre entre — oc et e^. Les fonctions jd'«, p'a, sont purement imaginaires, et les arguments sont l'un purement imaginaire, l'autre purement imaginaire sauf une demi-période réelle lo, le tout, bien entendu, sauf des périodes.

Si l'on prend effectivement de cette manière les arguments a et «1, on voit, par les formules ('^i), que a, o, |i, y seront réels. On peut donc prendre arbitrairement les invariants des fonctions elliptiques et les arguments a et «j, ces derniers sous les formes qu'on vient de dire^ les formules représenteront un cas du pro-