CHAPITRE III. — UOTATION I)"r.\ CORPS GRAVE DE REVOLUTION. gi

Ijlùmc niccaiii(|iic proposé. La ciiKjuièinc coiislanlc /■ csl arbilraire aussi, mais astreinte à une condition d'inégalité. En efiet, les moments d'inertie P et W doixent satisfaire à la condition P^^K. On devra donc toujours prendre, suivant l'égalité (i),

Cas particulier où l'ellipsoïde d'inertie est une sphère.

La supposition de la forme sphérique pour l'ellipsoïde d'inertie ne particularise pas le corps, mais le point de suspension. Sur l'axe d'un corps de révolution, il y a toujours, en efl'et, un point pour lequel les moments d'inertie sont égaux dans tous les sens.

Cette même supposition altère d'une manière peu profonde le mouvement que nous étudions. Par les formules ('26) et (itirt), on voit, en effet, que si l'on change seulement/- sans altérer les autres constantes, ceci revient simplement à multiplier cosAZ-j- t'cosBZ par un facteur de la forme e"^" : c'est donc simplement composer le mouvement avec une rolalion uniforme autour de l'axe C. On peut donc réduire le mouvement à l'ensemble d'une telle rotation et à un mouvement particulier pour lequel ;• ait une valeur à volonté, par exemple r=a, et cette hypothèse, d'après la relation (i), correspond à Pi = P, c'est-à-dire à l'égalité des moments d'inertie autour du point de suspension.

Ce cas particulier, signalé par Î\L Darboux, donne lieu à plusieurs belles propriétés, que nous mentionnerons en leur lieu. ïin voici une qui s'offre tout d'abord. L'expression (3i)dc a peut s'écrire ainsi (t. I, p. i38) :

y. = ■2 4[^(a-i-«i)— ^« — ^«il-

Si l'on suppose /• := a, l'exposant de l'exponentielle, dans l'expression (iG) de cosAZ -+- f cosBZ, devient {"Ca -+- ^a,)u. De cette manière, l'expression de cos \Z + /cosBZ se déduit de celle de cosCX-J- f cosCY par le seul changement de «, en — «,, sans parler de l'échange insignifiant des constantes E, E,. Ce changement ne modifie point cosCZ. Il en résulte, pour ce cas particu-

lier, celte conséquence cinématique: Le mouvement relatif de r espace par rapport au corps coïncide avec le mouvement d'un corps grave suspendu par un point de son axe.

Pour ce second mouvement, les constantes analogues à a, o, [3, y sont aisées à trouver. On voit, par les formules (3i), que a. S, ^ se changent en • — o, — a, ^, quand on change «i en — a,. Pour la nouvelle constante y' qui remplace y, on aura (3i)

Z5 (Pt'— ?T) = 'i .P(« — «I ) — 4 p(« -f- ^1 )

\pa—paij \pa — paij -J

Ainsi, pour le second mouvement, voici les constantes :

On vérifiera aisément que ces changements, apportés dans le polynôme (8), laissent ce polynôme inaltéré.

Expressions des éléments elliptiques par les constantes mécaniques.

En vertu du théorème d'addition

p(«-l-ai)-+-pa4-p«,= - — — - 1 ,

on a, d'après (3i),

(33) r(«-^«i)-Hp«-f-pai = — 7 — ; il en résulte (3i)

ces égalités font connaître pa, et j)cf. On a d'ailleurs, par les égalités (3i), les valeurs correspondantes de la fonction p' déjà trouvées plus hauJ,

/Q.x , > .^(5-0) 3 , .p(o-+-a) (35) -z^p'a^i- — 5 'z^pai=i' -,

CHAl'ITIlE III. — nOTATION d'uN CORPS GUAVE DE RÉVOLUTION. gS

Nous aurons j)lus loin à faire usage des fonctions j) cl j)' pour les deux arguments suivants

(30) fi = — (a-i- «,), 1-0 = a — rt,,

dont le premier n'est autre que Oo. Pour celui-ci, on a d'abord la relation (33) qui donne la fonction p, puis celle-ci, qui donne j)',

"^P'^'i — P'^i — p'fi P'ai — P'a ipt^i — P«i —pci ~ pai —pa Il en résulte

( ''P'^-1= j?(r:-^aY).

l*our l'argument Co, on a les formules

pvo-i-pai-hpa= - '- ) ,

ap't'o — p'ai-t- p'*?. p'a^-\-p'a

"^pv^ — pay — pa ~ pa^ — pa '

et l'on en conclut

^^^^ T3,pVo = - 7[2^-5(3Y-4-a2)-a3].

Voici des combinaisons qui seront utilisées plus loin :

(40) 4(ap'Pi— ojyi'„) = 2(pri— pPo)[|o2— -2(2ppi f-p(,o)].

Décomposition de la rotation.

Dans la composition des trièdres (p. lo), supposons

et mettons A, B, C au lieu de Xi,j'i,Zi; X, Y, Z au lieu de

O'oi^Vo, ^0- On a d'abord (1, 28, \>.g) (la quanlilc désignée, en cet endroit, par a clanl infinie),

cosCZ = —

Si Ton suppose, comme il vient d'être dit,

d'où résulte

on obtient

pa—pa^

Hl

ce qui esl justement la formide (19).

Prenons maintenant Tégalilé (l, iG) de la composition des Irièdres. Elle donne ici

eus A Z -1- j cos BZ — ; -— 3^ :f :f ( u '^. j [ u -\

:fa r^ rt 1 -y^i II — « , ) j ( « — « ) •

r^« j (a — «]) r'i a -f- «i) Elle coïncide avec notre formule actuelle (^r)) si Ton pose (43) G, = VU'l " • ■• ' tJ .

Il n'est pas nécessaire de vérifier la coïncidence des formules donnant, de part et d'autre, la quantité conjuguée, puisque, de part et d'autre, on a, pour le produit des conjuguées, les quantités I — cos-CZ, déjà reconnues identiques.

Dans la composition des trièdres, la quantité cos CX ■+- icos GY se déduit de cosAZ+^'cosBZ par l'écbange des indices sur G, w, V. Pour écbangcr Ui et Uq^ r, et l'o, il faut ici cbanger u et a en — ;^ et — a.

On aura donc

cosCX— jcosGV = ^4- 3'a3'ai3'(«4-rti) :f(u — a).

:r-u :r{a— cil) :r{a-i-ai)

ciiAPirni: m. — iuitation din cours (iitAVi; di; kévolltio.n. g-) (î'csL jusleinenl noire iorimilc ( ;j()), pourvu (ju'on prenne

( n ) Uo = l'-i e

La rotalion du corps grave se trouve décomposée en deux autres. Les arguments i^^Uq, égaux à d= ^/, dans ces rotations composantes, sont proportionnels au temps. De plus, les deux (juanlités G|,Go sont des exponentielles du premier degré en «,, //q. Les deux rotations composantes sont donc des mou^'Cmcnls à la Poinsot. Nous sommes donc en possession de ce théorème, trouvé par Jacobi : Le nioin'cnicnf cViiii corps grave de résolution, suspendu par un j)oint de son axe^ se décompose en deux mouvements à la Poinsot.

[j'élude a[)profondie de celle décomposition va maintenant nous occuper.

Étude du théorème de Jacobi. — Relations entre les deux mouvements composants.

Les deux mouvements à la J^oinsot sonl concordants (p. -j). l''mlre les liuit éléments de deux mouvements concordants, il existe deux relations, en sorte que leur ensemble dépend de six constantes. Ici il n'en existe que cinq. Il j a donc encore une relation de plus entre les deux mouvements composants. C'est celle relation que nous allons rechercher tout d'abord.

Il suffit pour l'obtenir d'éliminer a entre les deux relations (Sç), /\o). En elTel, ces deux égalités contiennent seulement des éléments immédiats des deux mouvements composants et la quantité 0. Mais celte dernière, nous allons le reeonnailre, est aussi un de ces éléments immédiats.

Dans l'exponentielle Go, le coefllcient de ;/o = — it est ^r/, — X,a. Relativement au mouvement composant, ce coellicient doit être (II, (i)

y , •. ^ __ y . ^ .ll» \

l-^lTeclivemenl, la quantité - est ici la même <ju"au Cbaj)ilre II (p. -()) et Ton a (II, 4<S)

!^ ;-io

La double expression de Go donne donc l'égalité

fio .

OU bien

Ho

Les arguments Cq, «i, — o avanl zéro pour somme, on a

!: l'o -r- ;«! — Jla = = 1 - •