CHAPITRE ni. — UOTATION d'L'N OORPS (iRAVIC DE RÉVOLUTION
Venons niainlcnanl à la recherche de Ja relation entre les deux mouvements composants. JNous devons, avons-nous dit, élimineia entre les équations (3(), ^o), ce qui donne
/ -2jV24., [-52 -1-4-2 (j)t.(, — pi-, )]
Pour abréger l'écriture, posons (')
-hn (c^--
Pour la symétrie, mettons encore une lettre h au lieu de - "^ n
L'expression (II, 8) de ~'- p^'o pourra s'écrire sous la forme
(|8) T2pru = — .^(a--f-b--i- C-).
D'après la condition de concordance (II, ^ij), chacune des (piantités analogues à a-, b-, c-, pour le second mouvement com- |)Osant, diffère de sa correspondante par une même quantité. Si Ton j)Ose
(49) --(pt'o— ,|H'l) = À,
les quantités analogues à a-, b-, C-, pour le second mouvement, sont respectivement a- -h A, b-.-j- )>, C-+ A.
L'expression (II, 8) dc-^p'vo-, savoir
C) Le lecteur ne confondra pas les arguments a, a,, employés précédemment et qui n'apparailront plus, avec les axes a, a, des surfaces du second degré.
(jS DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
j)out s'écrire sous la forme suivante (5i) T-'^"=2iabc
ol, de même,
Daus la rclalion (47)5 subsliuions à T-pe,,, T-jjr, , T'\p'eo, T^p'ri les expressions (48, 49? ^^1 ^0' ^^ niellons aussi, au lieu (le 0, sa valeur (/jofl'), c'est-à-dire
Le facteur d'homogénéité t disparaît et il reste
I (a2+ ).)(b'+ >0(c-+À)(li'-i->0 ^^^^ I =[abch+ J(a2+b2+c2+h^)X-}-À2]2.
C'est la relation demandée; car il n'y paraît plus que des éléments des deux mouvements composants. Mais le calcul peut être poussé beaucoup plus loin et fournir explicitement les éléments du second mouvement.
Tout d'abord, l'équation (02) offre une réduction notable par la disparition des termes en )/', en A' et du terme indépendant de A. Après suppression du facteur X, elle se réduit au premier degré
(53) dÀ + 4e = o,
avec ces expressions des coefficients, symétriques en a, b, c, h,
d = :::a'*— 2 Xa-b--i- 8abch, e = abch :2a-— :Sa'b-c-.
Nous allons maintenant, dans ces coefficients, mettre de nouveau en évidence a-, b'-^ c-, h, n, en faisant apparaître les fonctions symétriques suivantes de «, ^, c :
-ihto
(.IIAPITRE m. — UOTATION l)'l .N COHPS ORAVi: IJE RÉVOLITION". Ç)C)
I*ar la comparaison des égalités (5o, 5i), nous avons déjà abc= — Si, h --= ;
nous avons aussi
Il en résulte
-ay(-;^)(-:o- --"■
^a-b5c-= ( ^|-j {sl-^ xys-^y.
j)ar conséquent.
e = ( - 1 53 ( 52 -;- I — .vj — *! ).
Si Ton prend le polynôme
Mais les racines de '•p(ç) sont connues; ce sont les quantité?
I — -7-; donc
( bict) e =
n'- h^- c^-( /r- — a^- )( /r^ — Oi)( h-^— r^ )
De la même manière, on obtient
d = ( - 1 {s] — 451*3 -!- SS;i — ■2Sî-\-}).
Si \\)\\ |»osf'
les coefficients de cette ('quation, d'après les racines, sont
"'^ JT^ ' ''-— h'
lOO DEUXIÈME PARTIE. — ArPLICATIONS.
Mais la comparaison de cp(^) el ç(i — ^) donne
Si = 3 — s',, Si=J — 25, -i- «2, S3 = I — 5', + s'2 — *:i-
11 en résulte
$1 — 45iS3-f-8*3— 2*2-+-! = ■S'2' 4*1*3-+- 4*3-
Des expressions de d. e, on conclut
. Vi/i-—a-)(h'- — f^- ) , , 1 L n- ti' \
D'après l'expression (53) de)., la quantité analogue à C-, pour le second mouvement, est la suivante
(ff2 fii)(l,\ — fil) (a^-—h^-)(b-^-^h'^) , n'ihi n'-li'
= dL ^^^ '^"^'J'
c'est-à-dire
(gf — /?^)(6?- — /?f) (a'-—h'')ib'—h^) (a^c^-+ b^-c^-— a'-b^)^
égalité où Q désigne la racine carrée, prise avec un signe arbitraire, du numérateur de d,
(55) ii == \/{a-b^-r- b-c--h c^a-)-— \ a- b- c- (a- -r- b--T- c- ~ h^).
Posons encore, pour abréger,
11 y a trois égalités analogues à (54). Multipliant deux d'entre elles membre à membre et divisant par la troisième, puis extrayant la racine carrée, on obtient les trois équations suivantes
A2(af — Af) ^ B^-ib^i—hj) ^ C^cl-^hj) riihi ABC
finAPlTRE m. — ROTATION d'i'N OORPS r.RAVI' DK REVOLUTION. ICI
Ainsi est résolue la qucslion proposée : les trois relations (5^) sont celles qui existent entre les éléments des deux mouvements; la double relation de concordance s'y trouve comprise.
Les éléments du mouvement composé, déduits des mouvements
composants.
Il s'agit de calculer a, p, v, o, /■ en fonction des éléments des deux mouvements composants.
Pour obtenir a, nous calculerons d'abord la quantité suivante ■
On trouve facilement.
— d — ie = —î^ \ia''-b'^c'''— (a'^b"-^ b'^c'^-^ c"^ a"-) W-V- . n- n*' h"
En extrayant la racine carrée, on en conclut
(58) i/— -hX = — i- r^a^^^CΗ (rt2 62-f- 62c2+c2«2)/t21.
\ n- n/iii
D'après les relations (Sp, 49) et l'expression (45 a) de o, on voit que cette racine carrée est précisément dz-^a. Mais a peut être calculé sans ambiguïté par l'égalité (4o). H reste donc à décider si l'expression ( 58 ) fournit ^ a ou — ^ a.
Pour ce but, observons l'expression de t'jj'i-,. C'est (II, 8), à
cause de ^— = T,
^.P'^'i^^j^ï- f^'\ )( ^? - ^^r )(cf - ^^r )
ou, d'après (5o, 57),
