ABC

p i^, = - p ro -^ '

Faisons, pour simplifier la vérification, la supposition a = o. La quantité ù se réduit à ± b-c-^ soit ù = t'b'-c-. Alors pV, devient z'p'vq. La quantité A s'évanouit et l'égalité (4o) donne

102 DELXlÈMi: PARTIE. — APPLICATIONS.

a=£'o. Mais régalilé (58) fournil pour i/-^i-/, la valeur

— z' = s;' ■- (4.J «). L expression (58) est donc celle de { $a. Conséquemnienl, nous avons

(5q) a = — ; — \ia-b-c- — (a-b'--i- b'-c--i- c'-a'-)h^ ].

Pour calculer [îi, des équations (38) nous tirerons

el, en remplaçant o,7-j3t'o. "^J^'o P^r leurs expressions (45 «, 4^ et 5o),

[2rt-Z/-c- — (a- 6--^ 6-c--f- c-a-)/t-].

iVi3

Ou reconnaît, au second membre, le numérateur (59) de a, de sorte qu'il reste

Pour le calcul de *', prenons cette combinaison des équations (38 et 39)

et concluons

Enfin et ;■ sont connus par les équations déjà données (i5^ et 46)

(62) o = — 2E-, /• = ia + ï-'-

^ « ' rii

CHAPITIIE m. — "itOTATION I)'l N CORPS C.nWF. Di: nÉVOLLTIO.N. io3

Un dernier calcul reste à faire pour exprimer cxplicitemenl rélcMucnl variable cosCZ :^ ces r^ c, en fonction des éléments valiables du premier mouvement composant.

J^es équations (jj) on tire

«,/?, «/fi2AB

-Mais, suivant une identité facile à vérifier, on a

en sorte que les équations (oj) conduisent à celles-ci

' C2(«2- /-»■-) A2(62— c2) BHc^— «-) ABC

Considérons maintenant les deux égalités (II, i >. )

/ ,, , («2— 62)(rt2(.2)

--(;ea-p«o)= ■ -^j, C0S2«3u,

( (ii )

( ^-(^a-r«i) = — * ^pr^^T^ ^cos2rt3,.

Les deux premiers membres sont égaux entre eux, puisque «,, et «, diffèrent seulement par le signe. Le rapport constant des deux cosinus, exprimé par le moyen des égalités (63), devient carré parfait. Extrayant les racines carrées et faisant e^^rt i, on

en déduit

cosa^i A cosazo "'^ --

De même les rapports des cosinus de hz■^ et bz^i^ de cz^ et c:;,,

B C seront £/. — > ^c^' les lettres s désignant ± i . Il en résulte

coszyZti = 2 cosa:;i co.s«:;o

= - ( ïa ^^ (^o.s2 az^y -:- to B cos^ bzo -+- ic G cos^ czo ).

Celte expression de cos;, z^y doit reproduire celle (<)) de cos GZ,

cosCZ — \{'-? — ~'-pii)-

D'après rexpresslon (tio) de ^, on en déduit

■:-p — ~'-pu = 7y7(£a A. cos-aÂo+ -iC cos-bz-o^ £cG cos-c^o)- ■

Mettons, au second membre, pour les carrés des cosinus, les expressions (64)^ telles que

cos-a^o= ~-(^x — P ") / — r

et prenons, aux deux membres, les termes en -z'-pn; il reste

ou bien

= E„A(62 c2) + £6B(c2-a2)-i-EcC(a2-62).

On reconnaît sans peine que cette identité a lieu si les trois sont égaux à -h i et non autrement. Ainsi nous avons

cosa^i cos bzi cosczi i

, Acos<7,so Bcosô^o Ccosc^o i- (65) '

1 cos-Si^o = ~: SÂcos-a^o-

Nous avons vu (p. gi) que les constantes sont astreintes à une restriction unique; - doit être supérieur à -• D'après (62), celte

condition exige que a et e— soient de même signe, ou bien (09) que les deux quantités

aient un même signe. Cette restriction est la seule qui soit ici imposée; elle servira à fixer le signe de ù si l'on s'est donné celui

1 hi de — • fil

Il existe ici plusieurs indéterminations qui sont sans influence

sur le mouvement composé.

niAPITRI- III. — ROTATION I) LN COIll'S (illAVK DK UKVOLUTION. I0>

Eli premier lieu, r/, />, r, A, ii restant inaltérés, eliangcons ii

en — 12 cl — en ^-i ce nui est conlornie à la condition (<)')).

Le second niouvenient n'csl [)as cliaiii;('' ; les sens seuls des axes y sonl modifiés : l'axe ~, a changé de sens. C'est donc aussi des changements de sens dans les axes A, B, (>, fixes dans le corps grave, que Ton doit ainsi trouver. Effectivement, c'est ce qu'on aperçoit dans les formules du début, comme on va le reconnaître.

D'après les formules (5y, 6o, i^> et G5), le changement des

signes de Q et de — entraîne le même changement pour a, [j, r

et cosCZ, tandis que ^Sy et o restent inaltérés ((3i et 62). Remarquons que les deux systèmes d'axes A, B, G et X, Y, Z sont supposés congruents. Avec le sens de C, il faut donc aussi changer celui d'un autre axe, B par exemple. On doit donc changer en même temps les signes des composantes <j, /•, prises sur ces axes. Ces changements de signe apportés à cosCZ, cosBZ, a, |i, /•, </, tandis que cosAZ, /?, jiy, 0 restent inaltérés, laissent subsister toutes les équations du début.

Si, par exemple, on veut que l'axe C soit dirigé positivement du point de suspension au centre de gravité, que ^ soit positif par conséquent (1), on devi-a prendre ù négativement.

En second lieu, la quantité s =:: d= i n'a d'influence que sur la comparaison des mouvements composants avec les axes a, h, c, lesquels n'ont pas de rôle dans le mouvement composé. H est donc clair a priori qu'on pourra prendre, à volonté, l'une ou l'autre détermination de t. Effectivement, si l'on change à la fois

les sijrnes de £, de - et de — sans modifier les valeurs absolues, ^ ' Il /Il

toutes les constantes du mouvement composant restent inaltérées ; seuls les sens des deux mouvements composés sont, à la fois, renvers(''s. Si l'on changeait seulement le signe de s, ce changement équivaudrait à celui du sens d'un axe dans chaque système, par exemple le changement du sens des axes A et X avec un changement des sens de rotation.

On voit par là que l'on ne restreindrait nullement la généi'alité en supposant à 1^ et z les signes que l'on voudrait.

En résumi', voici la proposition (inale :

loG DEIXIÈME PAUTIK. — APPLICATIONS.

DoiLT nioi/veme/its à la Poinsol varactcriscs par les con-

a- h- c- Il ,1 ('• b'\ V-. Il \ n , >, ,

suintes ~ ,—j—^~ pour i an, -\ , — 7 ' ^' ~ pour l autre, elani II- n- n- II' ' /l-^ /i-^ n-^ /li '

liés par les relations (5;, 65) et s'ej/'eetuant autour de deu.r

surfaces du second des'ré dont les axes coïncident en position

et en sens, a, h, c respectivement av'cc a,, b,, c, ;

Le mouvement relatif des axes .r, , i,, ;, {axes mobiles du second moui-ement) par /apport aux axes x, y, :■ {axes mobiles du premier mouvement) est celuid'un corps grave de révolution suspendu par un point de son axe. IJ axe z est dirigé suivant la pesanteur, l'axe ;, est l'axe du coi-ps grave.

Les constantes a, [B, y, 0, /• du mouvement du corps grave sont données par les égalités (hj, (x), 61, 62).

Propriétés particulières des mouvements composants dans le cas où l'ellipsoïde d'inertie est une sphère.

Ce cas, dont il a élv (jueslion déjà (p. 91), est caractérisé par la relation /■ = a , d'où (62, oq)

--- = - £x = — ^— , S = 'ici-ù'^c- — {a-b- -{- b'-c- H- c- a"- ) h- .

n [ 1 n h il

D'après celte valeur de — ) on conclut de ij>'])

a] Al (a2— A-2)BC AS + U^— A^)BC ^17^1 ~ n\ "^ Ail «A nh\il

On vérifiera aisément l'idenlité

AS ^ ( «2 A2 ) ne -H «2 Qî = o ,

d'après laquelle la relation précédente et ses analogues de- \ lennent

Aa] B6| Ccf n^ ^^ a^ ~ b- " <•'■ " nh

Ces dernières, comparées aux relations (65), donnent

fl'f cos«^i b'] cofibzi r| coscsi 'hhx n^ cosaz b^cosbz c-coscz nli

ciiAPiTRi: m. — iiOTATio.N b'iN COUPS (;ravi; de révolution. 107

r>i 1 on se rappelle mainlcnanl que csl la composanle de

la rolalion clans le premier mouvement à la l'oinsot, prise sur l'axe a, on conclut que, à cliaque instant, clans les deux inouKCmenls composants^ les i-otations sont égales et contraires. Cotte belle propriéti'', découverte par M. Darhoux, a ser\ i à ce j;éomèlrf de point de départ pour exposer la théorie dont nous nous occupons.

Les constantes des mouvements composants, déduites de celles du mouvement composé.

Nous avons à résoudre le problème inverse, rpii consiste à trouver les éléuienls des deux inou\cmenls à la Poinsol en fonction de a, 3i *'» ^1 /"• l^éià les deux quantités — ■> — sont données par les égalités (62). Cherchons maintenant les quantités, telles que

En appliquant les relations caractéristiques (II, 8) des deux mouvements composants, on a

D'après l'expression (9) de cosCZ, les racines e^ correspondent aux racines ç-^ du polynôme (8)

(G8; F(tj=3(i-^^)(t--YI-(o-at)2

suivant la formule

Si l'on pose

on aura

?a = p (-^^ - x^pi-o - -a) = \ {-J:.--'-p^-i - -â),

OU bien, suivant (i8, 3^, 38)

Substituant enfin à p't'o et ,p'r,, dans (67), leurs expressions (3^, 38), on peut conclure ainsi :

Soient z-oL, z^, z^ les racines de l'équation

^Hi^-'^^^^i^)]-'

les constantes du piemier mouvement à la Poinsot sont données par les formules

/ /,2 ^2 A2 A2 Iji (,Z ^r -|

soient ::âj ^S? ^y les racines de l'équation

les constantes du second mouvement à la Poinsot sont données par les formules

( ^^? — «T .- h"i - ^j ,, ^f — cf ., lË/?^,v^ (69) '

11 est entendu que, pour les racines des deux équations, les indices a, [3, y appartiennent, de part et d'autre, à des racines se correspondant suivant la condition

Le dernier membre (68) se déduit du dernier membre (69) par

le changement de a, j3, y, 0 en — 0, [ii, y H -^ — , — a, résultat

conforme aux propriétés du mouvement (p. 92). Au cas r = a,

CHAPITRE III. — ROTATION u'i N CORPS GRAVK DK RÉVOLUTION. 1 09 I /'O /'l w 1

ipressions de — > — s echannfcnL s comme, en efl'el, on devait s'y allcndie.

les expressions de — > — s'éclianofenL si Ton échan(;e a el — o.

Sur un cas particulier.

On doit signaler à rallcnlion les cas où a = z!zo, où, par conséquent, ± I est racine du polynôme (8). Ces cas appartiennent à deux espèces difTérentes, suivant que celte racine dz i est une de celles qu'atteint cosGZ ou ne Test pas. La distinction de ces deux espèces se fait immédiatement, comme on va voir.

Nous pouvons, sans restreindre la généralité, supposer p positif. Supposons a = — o; le polynôme (8), qui devient

atteint la racine — i en croissant ou en décroissant, suivant que V — I est positif ou négatif. Etant positif pour ^ = — oc et négatif pour ç=-f-oc, il a, dans le premier cas y>i, une racine inférieure et une autre supérieure à — i ; dans le second cas, Y <^ i ; s'il était tout à fait quelcon(|ue, il pourrait avoir ou l)ien deux racines inférieures à — i, ou des racines supérieures à — i, ou nulle autre racine. Mais il est astreint à cette condition de devenir positif pour des valeurs de ^ comprises entre — i el -+- i; il a donc deux racines supérieures à — i, inférieures à + i. Ainsi, dans le cas v> I, la racine — i est une des valeurs extrêmes de cosCZ; dans le cas Y<C i> elle ne l'est pas. Le cas limite r=i, où la racine est double, doit être rangé avec le cas v >> i .

Supposons maintenant y.= o, le polynôme (8) est alors

On doit remarquer que y est nécessairement supérieur à — i, comme le montre l'égalité (6) du début. Le polynôme atteint donc la racine i en décroissant. Il a alors deux autres racines de part el d'autre de — i. La racine -}- i est une des valeurs extrêmes de cosGZ. Elle ne peut être double si toutefois on laisse de côté le cas singulier, dénué d'intérêt, où, l'axe du corps restant vertical, le

corps lui-nitwne lournc autour de cel a\o d\\n mouvement uniforme.

1mi résumé, nous pouvons distinguer trois cas particuliers répond.int à riivpotlièse a = liz o :

i" a = — 0, " <C • > cas où cosGZ n'atteint pas la valeur — i : Taxe du corps ne passe pas sur la verticale;

2° a ^ — 0, Y > I , cas où cos GZ atteint la valeur — i : Taxe du corps passe périodiquement sur la verticale, le centre de gravité (iif-dessus du point de suspension;

3° a= 0, où cosCZ atteint la valeur -f- i : l'axe du corps passe périodiquement sur la verticale, le centre de gravité au-dessous du point de suspension.

Dans riivpothèse limite Y= i appartenant au second cas, la racine — 1 est double et les fonctions elliptiques dégénèrent.

Il s'agit maintenant de distinguer ces cas au |)oint de vue de la nature qu'afTectent, pour chacun d'eux, les mouvements composants. On doit se souvenir f|ue nous avons supposé [j positif, par conséquent (6o) ù négatif. Si l'on faisait la supposition inverse, les signes de o et de y devraient être inlervcrtis pour la distinction des divers cas.

On a déjà vu {'og, 49) que la différence (a- — 0-) est égale à 4"a? en sorte que tous ces cas sont caractérisés ensemble par la condilion e ^ o (53) ou par l'une des conditions telles que a- = o ou A- — a- = o (53rt).

A l'égard de la condition h- — «- = o, observons tout de suite qu'elle se raj)|jorle au cas où les fonctions elliptiques dégénèrent, comme on le sait par la théorie des mouvements àla Poinsot (p. ja), et, laissant de côté ce cas, examinons ceux où l'un des axes a est nul.

Pour le premier mouvement à la Poinsot, où l'axe a est nul, nous avons ici ce cas particulier dont il a déjà été parlé (p. j4)> 6t où la surface du second degré, aplatie, se réduit à une ellipse ou à une hyperbole.

L'hypothèse a- = o réduit ù à z' b-c-(z' = ± i)^ comme on l'a déjà vu (p. 101), et donne a = s'o. Le signe de e' doit cire j)rls d(; telle sorte que Ù soit négatif. Donc, au cas de l'hyperbole, on a e' = + I ; c'est donc le troisième cas ci-dessus, a = 0. Au contraire, pour l'ellipse, on aura z' = — i , ce sera le premier ou le second cas ci-dessus, a = — 0.

CIIAPITRK III. — KOTATIO.N D U.\ CORI'S CltAM' l)i: ntVOM TION. III

D'aulrc pari, les égaillés (oj, 6.)) (Je\icnm,iil

.•■-Af r2 — h^