CHAPITRE I. — FORMULES ELLIPTIQUES POUR LA ROTATION DES CORPS

Si l'on observe que les deux systèmes d'axes coïncident moyennant l'hypothèse Mo=W|' ^o"=^ij Go=G,, et que cette hypothèse rend a' et |j' infinis, cos ^i, ^i " -H i , on voit (jit'il faut conclure

, , (a-P)(a'-^')^(a-;3')(a'-!3) (.9) cos.-„.-.=: (a-a')(P-P')

Le problème de la composition des trièdres trircctangles se trouve ainsi résolue.

Voici quelques transformations utiles de cos:^o^i- On a tout d'abord

Changeant les différences de fonctions p en produits de fonctions 3" par la formule fondamentale, on obtient

cos;:o-i

il faudra, dans le produit II', prendre seulement les quatre facteurs où le nombre des signes moins est impair ou pair suivant que le signe, au premier membre, sera plus ou moins.

La troisième forme que nous allons donner à cos^o^i, dissymétrique par rapport aux lettres u et c, est celle qu'on rencontrera dans les applications. Posons un instant

(3ij ^ = pa, <x'=pa, P = p6, '^' = pb',

d'où résulte

(a — p')(a'— 3) tf( « + b'):^(a— h') :f(a^ b) dja'— h) j, (a — a')( 3 — fj') "" a'{a-^a')::'{a— a')a'{b -^b') a'{b —b') ~~

Envisageons à part le produit

l4 DEUXIÈME PAUTIK. — APPLICATIONS.

fonclion de a', doublement périodique, que nous décomposerons en éléinonts simples ainsi (l. I, p. 206) :

3'{a'-4- b ) ifia' — b)

a'(rt-i-a')a'(rt — a')

(ï(a — b)cf{a-^ h)

Dans celte éi;alité échangeons a' et b', puis divisons membre à membre; il viendra

l(a ^ a')-f- l^(a — a') — "Qi a ^ b) — 'C.ia — b) ~~ ^(a -f- 6') -t- C(a — b') — Ç(a-+- 6)— ^a — 6)

Suivant la première égalité (3o), on a

Chassant le dénominateur, puis remettant, conformément aux égalités (28 et 3i), pour a, a', b, 6', leurs expressions —î^-; — '?

O.X^Uo—l'^Ul — ^l

(32) cos^o-^i = ; -—'■ :'

-^ «n-H U\~i^>(,— t'i ) "V v- "0-^ ».i±( Pn-H t^l )

Angles d'Euler.

Les angles d'Euler, ainsi nommés parce qu'ils figurent dans les formules données par Euler pour le changement des coordonnées rectangulaires, sont ceux que l'intersection de deux plans, l'un des nouvelles coordonnées, l'autre des anciennes, fait avec un des axes situés dans un de ces plans. On en considère habituellement deux, ceux, par exemple, qui sont formés par l'intersection des plans ab et xy avec les axes a et x^ et c'est par ces deux angles, avec l'angle cz^ qu'on détermine les huit angles ax, ay^ .... Il y a dix-huit angles d'Euler, suivant la définition qu'on vient d'en donner; chacun d'eux n'est déterminé qu'à un mulUple près de la demi-circonférence, quand même on suppose les sens de rota-