COS«C

cosbzi

COSCJi

rosa^o rnf^bZi) cn^cz,,

Nous reporlant à la lliéoric générale des mouvements à la Polnsoi (p. 73, 80), envisageons le inouvomenl auxiliair(; défini par les égaillés

a'- — h'- b'- — /t- (■'- — /;'2 n' /t' a- — h- ù- — h- c- — h' iih

i'osaz' cas bz' cas cz'

cosaz,, ro'sbZf) coscz.,

qui, on le sail, diffère seulement du premier mouvemenL p;ir une rolalion uniforme autour de Taxe z'. Supposons, en outi-e,

Nous avons ici trois mouvements à la Poinsot M, M,, M'. J^es <leux mouvements jM, et M' ont pour base commune une seule et même surface du second degré. La comparaison des cosinus de azi , bZf, cz, et de az', bz', ce' montre dès lors que ces deux mouvements sont svmélriques l'un de 1 aulre, soit j)ar rapport à un plan principal si t'=-\- i , soit par rapport à un axe principal si 3'.-= — i .

Ces deux modes de symétrie peuvent être ramenés à un seul si, au lieu d'une figure, on considère sa svmélrique par rapport au centre, ce qui revient d'ailleurs à changer le signe de s', à ne plus astreindre |îi, par consé(juent, à être toujours positif. Si Ton prend, par exemple, ilans les deux cas, la symétrie par rapport au plan, |j sera positif dans le cas de l'ellipse, négatif dans le cas de l'hyperbole.

Ainsi, les cas particuliers du mouvement d'un corps grave de révolution suspendu par un point de son axe et pour lesquels dz 1 est racine du j)olvnome (8) en cosCZ, s'obtiennent tous de la manière suivante : Considérez un système cVaxcs X, Y, Z animr cV un mouvement à la Poinsot autour cV une ellipse ou d'une hyperbole, et son image X,, \ ,, Z-, par rapport au plan de la courbe.

Par rapport à\, ^ , Z, le mouvement relatif de X,, '^ ,, Z,,

112 DEUXltMl-: PAmiE. — APPLICATIONS.

composé avec une rotation uniforme arbitraire autour de'L^^ est celui d'un corps grave dans l'un quelconque des cas particuliers envisagés, l'axe Z étant dirigé dans le sens de la pesanteur et l'axeTi^ étant l'axe du corps dirigé du point de suspension i^ers le centre de gravité si la base est une hyperbole, ou en sens inverse si la base est une ellipse.

Au cas de l'hyperbole, l'axe Z passe périodiquemenL dans le plan de cette courbe; par conséquent Z, et Z coïncident périodiquement. Au cas de l'eUipsc, cette circonstance se présente seulement si la distance du plan tangent au centre est comprise entre les longueurs des demi-axes (p. y4)- C'est là ce ([ui dislingue les deux premiers cas ci-dessus (a = — o, y <^ i ou y ^ i), comme on le vérifiera aisément par le moyen des expressions de ^ et ^y (60, 61).

Mouvement de l'axe du corps grave.

Pour se faire une idée 'du mouvement qui anime l'axe du corps grave, on peut considérer, en preiuier lieu, son mouvement dans le plan vertical qui le contient et, en second lieu, la rotation de ce plan vertical.

Le mouvement dans le plan vertical est fort simple. Laissons de côté les cas particuliers dont on vient de parler, ceux où cosCZ acquiert les valeurs i ou — i , et qui exigent, pour un des arguments a, «), une demi-période. Ces cas omis, on voit par la formule (19) que l'axe du corps a, dans le plan vertical, un mouvement périodique, au cours duquel son angle avec la verticale croît alternativement et décroît dans un intervalle compris entre zéro et la demi-circonférence. Pour préciser, nous supposerons la direction positive de l'axe du corps prise du point de suspension vers le centre de gravité ; ^ sera positif (i) et, d'après (3i), pat supérieur à pa. Par conséquent, le minimum de cosCZ correspond à pu = eo, le maximum k pu = e^. L'angle formé par les deux droites, dirigées toutes deux dans leurs sens positifs, est ainsi minimum pour pu = <?3, maximum pour pu = 6-2.

Soit <^ l'angle que le plan vertical mobile fait avec l'axe fixe X.

On a

cosGX -+■ j cosGY

cosGX — i cosGY

CnAPITHE III. — ROTATION d'i'N CORPS GRAVR DE RÉVOLITFOX. Il3

Cl, par conséquent (27),

, d<\i 0 — a cos GZ

""^ di ~ I — cosîGZ*

Par ccHc cgaliti', on reconnaît l'existence de deux cas fort distincts au point de vue de la manière dont varie l'angle -!/. Dans l'un de ces cas, cet angle -l varie toujours dans un même sens :

c est ce qui arrive si - n est pas une des valeurs que puisse acquérir cosCZ. L'autre cas est inverse : si - est compris dans le champ

(les valeurs de cosCZ, l'angle 'l ne varie pas toujours dans un même sens et le plan vertical mobile a un mouvement oscillatoire. Mais cette oscillation se conserve-t-elle dans le mouvement moven, ou bien, tout en se reproduisant périodiquement, laisset-elle subsister un mouvement de rotation périodiquement progressif? C'est pour répondre à cette question que nous allons examiner l'expression de ~ en fonction elliptique du temps. Quant

aux conditions d'existence de ce mouvement oscillatoire, il suffit d'envisager le polynôme (8) pour les reconnaître sous la forme

En vue de la discussion que nous avons à faire, examinons d'abord les limites entre lesquelles varie la quantité A = -. (wJ^o — r^ a) quand a est purement imaginaire.

Supposons, pour fixer les idées, - compris entre zéro et . >

et soit a = — ia! . On a

d\ .dK

(luand «'croît de zéro à . ? pa croît constamment depuis — x

jusqu'à e-i. La dérivée (72) croît constamment aussi depuis — 00

jusqu'à (OC:, -\-'fi- Mais cette valeur finale est négative, comme on

peut le prouver facilement par les moyens employés au Tome I,

Il4 DEUXIÈME l'AUTIE. — APPLICATIONS.

chap. IX, |>. 3i5, comme on le reconnaît aussi par le dcvelop pement

i<j{ix)e3-=rr,) = — irJ^— — \ ^^ ^^ (/i = i,3, 5,

élabli au Tome I, p. /\o/\ ; car tous les termes du second membre sont négatifs, q étant réel et posilif quand le discriminant est positif. On trouve, au même endroit, la preuve que Me^^'r, est, au contraire, positif, ce que nous invoquerons tout à l'heure.

De ces observations résulte que la dérivée {yi) est toujours négative; A est donc une fonction décroissante. Son maximum est la valeur initiale -\- y^ répondant à rt = o; son minimum, correspondant à a = — o/, est -. ( — cor/ -j- r,ci/) = '' •

Ainsi, avec 1 hypothèse — . < . <^ o, on a a ;> -•

Nous n'avons pas besoin de considérer d'autres valeurs de a; mais, si l'on désirait le faire, la réponse serait immédiate; car ajouter à a une période, c'est altérer A en y ajoutant un multiple •Je 7:; changer le signe de a, c'est aussi changer celui de A.

Supposant toujours - compris entre — — et zéro, prenons Ja

quantité A' déduite de A par le changement de . en —^. — • Ce

nouvel argument étant compris entre zéro et — j A' sera inférieur

;j — - et — A' sera supérieur à -• Donc A — A' est supérieur à -. Ainsi

- [tu^a

;(aH- to')-4-r,w'] > r; J

- ( 10^ rt — f^a) y- -" ;

Si l'on remplace oj^(rt -f- to') par

0}^{a — oj') -+- ar/w = io^(« — to') -l- 2y,1)j' — ir:, puis qu'on change a en — «, on obtient

(75) -[oj^a — w^(« H- to') -HTjO)'] < o;

-. (to^« — ■/;«)

CHAPITKR III. — ROTATION I) IN (:f)HPS (iK.VVK l)K U^:VOI,LTI()N. I I •>

Formons deux inégalllés analogues, mais rclali\es à un argiiiiu'nl f/f, tel que Vf, — «o soit purement imaginaire. Supposon>

'/| tu . (O' , . . 1 / y^ ,

compris entre .et zrro, et soil A. = .{o)La, — ra, ).

Posons (tf =: 0) — i</\ ; nous aurons

Supposons -r- variant de zéro a -; pa^ \arie, toujours dans

un même sens, de c, à t\, et la dérivée (77), d'après une remarque précédente, est toujours négative. I^a fonction a donc

pour minimum sa valeur finale, et l'on a A, > — -• ' 2

De là se déduisent, tout comme les inégalités ci-dessus, les suivantes :

I , , lit

(So) — ^('•>C«i — ■'i"i)< --' i

(81) :[oj;^«, — w^(rt,-l- co') -I- r,co'] < o.

Les suppositions qu'on vient de faire sur a et «, sont permises dans le problème actuel et ne restreignent en rien la généralité. Nous avons, en effet, renfermé chacun de ces arguments dans l'intervalle d'une période j de plus, la nature supposée des arguments <i, Of est coniorme à la convention déjà faite pa,^ pa^ c'està-dire [5 > o.

L'égalité (28) nous donne la dérivée de 'l sous la première forme

du c p II — p a i p a — poi

Les dénominateurs pu — pa^ pu — pat sont, le premier positif, le second négatif. Si donc - p' n et -p'u, sont de même signe, le

signe de -,— est certainement invariable. Cette circonstance se pré-

l 16 DEL'XIÈMi: rAUTli:. - - APPLICATIONS.

son le (juand - cl — . — sont de signes opposes, les arguments

étanl Ions donx rcnfernK'S dans les limites ei-dessus. C'est ce qui se voit immédialenicnl au l'omc I, p. 4'-*" INons avons à examiner

maintenant les cas ou, au contraire, - et — ; — sont de même ' Il

signe. Prenons la dérivée (82) j)our u = (>/, mais en nous servant

de la seconde l'orme (28)

-^t{i(-^(ii) — Ç("-V- a) — tiu — «1 ),

qui nous donne

) = -. K « — ^ ^/ 1 — Ç( rt -h w' ) -f- ^ ( ai ~t- co' ) .

Comme -et — .— sont de même signe, nous devons consi-

dérer simultanément, soit les inégalités (-3, 79), soit les inégalités (-5, 81), dont l'addition membre à membre amène la conséquence suivante, applicable aussi au cas où le signe de -j^ reste invariable :

La quantité ( -7^ ) a le signe opj)Osé à celui de -•

Considérons maintenant l'angle a-l/o, accroissement de '|i correspondant à un accroissement d'une période pour u. Supposons a — ^ oj' réel, ce qui n'entraîne aucune restriction, et désignant u — (')' par a , nous avons, d'après (83),

[U II -i- M — <■/ ) + ^ ( u' -f- oj' -h ai )

— !^(a'-!- oj'~+- a) — ^(if'-f- Cl)'— ai)J du'.

Les intégrales complètes, au second membre, se calculent comme il a été expliqué au Tome 1 (p. 201). Les coefficients de i

dans 0)' — «, to'-l- «i, co'-H a, oV — a, sont tous entre zéro et — r- ;

pour chaque intégrale, l'entier analogue à celui qui est désigné par