CHAPITRE III.— ROTATION Dl N CORPS CRWE DE RÉVOLUTION. II

/// à l'endroil cite csL donc zéro, el nous oblcnons

(85) <lo= ^[(C« — !;«i)f^ — •';(« — «i>l-

Prenons les inégalités (-4> 7*^) ou les inégalités (y6, 80) cl ajoutons-les membre à membre, pour conclure encore que 'Iq a le

signe oppose a celui de - •

Comme le second membre (82) a une même valeur pour deux valeurs de u également distantes et de part et d'autre d'une demipériode, l'accroissement 'io correspond à un accroissement d'une demi-période pour;/. Cet anglc^o, enconclusion finale, a toujours le

même signe que (-7^) > et ce signe est précisément celui de

Nous pouvons, de plus, conclure de notre analyse que 'Iq ne saurait être nul, sauflecasoù, àlafois, lo'Ça — v,rt et lo'Çr/f — 7,a,

atteindraient tous deux leurs valeurs limites ± -, où, par consé-

quent, a et «, seraient tous deux des demi-périodes. Dans ce cas,

d'il tout à fait exceptionnel, p' a et jjV/i sont nuls el -j, ^^^ ""^'

aussi (82).

Le mouvement du plan vertical, que nous avions en vue, donne lieu à cette conclusion : Le moyen mouvement du plan vertical contenant Vaxe du corps n'est jamais nul (sauf dans le cas particulier où ce plan est absolument immobile); la rotation moyenne a lieu dans un sens constant, qui est aussi celui dans lequel ce plan tourne effectivement au moment où Vaxe du corps fait avec la verticale l'angle minimum. Cet angle, moindre qu'une demi-circonférence, est, rappelons-le, compris entre les deux droites dirigées^ la première du point de suspension au centre de gravité, la seconde dans le sens de la pesanteur.

La constante a est exprimée ainsi (3i)

» pa^ — pa son signe peut être quelconque quand —^ et — — sont do même

Il8 DEUXIÈMF. l'Ain lE. — APPLICATIONS.

sii^iic. INIais, dans le cas oj)posé, le signe de a csl contraire à celui

<le ~ '^-^) contraire, par conséquent, a celui de t -7^ =. -j- A\'j) au

inoment où CZ est minimum.

C'est donc un caractère du mouvement oscillatoire que la rotalion /• (du même signe (]iie a) y soit toujours de sens opposé à celui delà relation inovennc du jdan vertical, tandis que, dans le mouvement non oscillaloire, /• peut avoir un sens quelconque. An lesle, cette circonstance est évidente aussi dans l'expression (^o)

<le — .-• Soient, en cfTet, 0,, le minimum, 0( le maximum de CZ,et,

par suite, cosÔ,,^ cosd,. Si le mouvement est oscillatoire, les deux

A aleurs correspondantes de -j- doivent être de signe opposé^ doni-

doit avoir le même signe que -y-; donc a doit avoir le signe op-

dto

Le fait remarquable que [-f-] a toujours le même signe que —^ peut encore cire prouve par 1 analyse suivante.

Soit c un argument tel que a ou <^/,, c'est-à-dire pour lequel p^■ soit réel, ainsi que ^ ; considérons la l'onction

t. e^—pv

Supposons, en outre, ^ de même signe que e^ — j)c, dont le

signe est invariable, puisque pv est limité dans un des intervalles ( — 3o , e-i) ou (^2, <?,). Ainsi f est une quantité positive. Nous voulons étudier sa variation. l'renons sa dérivée par rapport à pi' :

df

I df

\- P" <87) UV

dpç p' V dv pU'

■-j-ir,-pn

a— pt'

i.llAriTRi: III. UOrATlitN dis coups (illAVE Dli RÈVOLITION. 1 M(

Les racines p\- de ce j)ul\nôine du second degré corrcspondenl ;mx arguinenls e, (|Mi sonl les moitiés de v)y, (l. I. p. 5i). Ce-» racines sont imaginaires si ^35 est la racine moyenne, si ry.= c-,. En ce cas, la dérivée (86) est toujours négative, la fonctiony toujours décroissante, ()ue l'on suppose donc jîc variant, comme j)rt, de — X à '':). ou. comme j)'"^, de r.^ îi r,. f décroît constamment dans les deux cas. de H- x> à zéro. On voit nettement que l'on peut, pour chaque v.di-ur de pa, choisir d'une seule manière pft,. de sorl<' (pie lii (pianlité

prenne li'llc \aleur que ion voudra au-dessous de y (<7j jusqu'à - - y:.

Supposons maintenant 0:^=^ Cj. Le polynôme (87) a deux racines réelles, correspondant aux moitiés de l'argument (o'. Lune de ces racines est dans rinlervalle ( — X.C3), l'autre dans Tintervalle (f-o, r,). En ce cas, f{a) varie de + x à -h ce en pas- <;ant jtar un minimum, qui est (t. 1, p. 54),

'i{\/ei— e3-^\/e.2— ^3);

/\^,) varie de zéro à zéro en passant pai- un maximum, cpii est [iOid.)

Donc(-T^) a pour minimum /i\-e., — ^3, c'est-à-dire une \ au / u-oi'

«[uantite positive quand on a suppose -.- de même signe <|uc

r-f — pa, c'est-à-dire positif. C'est ce qu'on voulait étal)lir.

On remarquera, de plus, que (•^^j n'est jamais nul, sauf si

^'0 = ^3, sous réserve, bien entendu, de ce cas singulier signalé plus haut où le plan vertical est immobile. Le cas ^2= Cj n'offre aucun intérêt : c'est celui où l'axe du corps reste immobile dans la position verticale, et où le corps tourne autour de cet axe d un mouvement uniforme.

Mouvement relatif de la verticale par rapport au corps.

Comme le précédenl, ce mouvement peut être caractérisé par celui de la verticale dans le plan qui la contient avec Taxe, et par le mouvement relatif de ce plan autour de l'axe du corps. Le mouvement de la verticale, caractérisé par la variation de l'angle CZ, est le même que celui de l'axe dans le plan vertical. Quant à la rotation de plan autour de l'axe du corps, elle est caractérisée par l'angle '-5, que fait ce plan avec l'axe A, et l'on a (26)

cosAZ+ t cosBZ

cosAZ — t cosBZ do cosGZ(o — acosGZ) (/■ — a) cos^CZ-i- ScosCZ

dt I — cos2 CZ 1 — cos- GZ

Ici il y a deux valeurs de la variable qui font évanouir -j- et, suivant le nature de ces valeurs, cette dérivée peut être effectivement deux fois, une fois ou n'être jamais nulle. Ainsi, dans ce mouvement relatif, la rotation du plan peut être oscillatoire dans deux sens différents pendant l'intervalle d'une demi-période.

Ces caractères, qui rendent le mouvement actuel différent de celui qu'on a examiné précédemment, disparaissent si l'on suppose r=a. Nous savons déjà (p. 92) que, pour ce cas particulier, le mouvement relatif a même définition que le mouvement absolu. Il y a seulement lieu de remarquer que les deux mouvements ne peuvent jamais être tous deux à la fois oscillatoires. On a reconnu, en effet, la condition o- ^ a- ('ji) comme nécessaire pour que le premier mouvement soit oscillatoire. Le second correspond à l'échange de 0- et a- \ il exige donc, pour être oscillatoire, la condition opposée 0- <^ a-. Quant au cas 0- = a-, examiné déjà, il ne s'y présente pas d'oscillation.

Le mouvement relatif du plan vertical par rapport au corps se compose, comme on Ta vu, de ce mouvement même envisagé pour une valeur arbitraire de /•, et d'une rotation uniforme. Il est aisé par là de concevoir comment, en prenant à volonté celte dernière rotation, on peut faire disparaître ou faire naître les oscillations, et il n'est pas nécessaire de s'y arrêter davantage.

CllAPITRK m. — ROTATION d'iN COIll'S (WIAVK I)K IIÈVOI.I TION. 121

Le moyen mouvement du plan vertical mesuré dans riierpolliodie.

Reprenons la formule (85) qui donne le moyen mouvcmenl •l^. 'IV'nanl compte de ce que r„ = a — r/, (3G) et employant la formule (45) qui donne -< nous ayons

•}o = - ( (o^fy — T, (•„ -f- il - w j .

Com|)aranl ayec la formule (II, 20) qui donne l'angle -/o dans riierpolliodie relatiye au premier mouyement composant, nous reconnaissons de suite que 'i,, est égal à — •/(, ou à — ■/Q±r: suivant la grandeur du coefficient de i dans <(,. Celte coïncidence peut être expliquée par la nature même du sujet. Prenons, en effet, dans les mouvements à la Poinsot composants, deux positions des figures, distantes d'une période de l'argument. Pouil'une et l'autre de ces positions, le plan des axes ^0, z, a la même situation ; mais les axes j^o) J'o ont tourné, quand on passe de Tune à Tautre. dun angle avo en valeur absolue (p. 58). Dans le mouvement relatif du plan ^qC, par rapport à ces a\es, mouvement qui est celui du corps grave, le plan a donc tourné, en sens inverse, de l'angle ay,,, à un multiple près de la circonférence.

A peine est-il besoin d'ajouter que le moyen mouvement relatif du plan vertical par rapport au corps a la même relation avec l'angle analogue à y,,, mais se rapj^ortant au second mouvement à la Poinsot composant.

Ces relations entre le mouvement du corps grave et les lierpolliodies peuvent être précisées bien davantage par l'analyse qui va suivre.

Le mouvement du plan vertical mesuré dans l'herpolhodie.

L'expression (29) de cosCX + i cosCY est celle d'une fonction doublement périodique de seconde espèce, qui se décompose en

122 UELXlt.ME PARTIE. APPLICATIONS.

rlém'cnls simples par la lonnulc suivanlc (t. 1, p. :>3o)

»__ ce ?/ — «7) 5'( » + Oi) ^(;a-r»,)„ r/

C (( ^ (I < "ï- Il

(lu \ j{a — «1 ) j »

r>eniplarons // par — //„ (4')^ « — (i\ 1^^>' '0 cl vrt| — ^ji par son expression (4-*)? pi'is désignons par F une conslanLc, cl nous aurons

c(>« GX -f- J cos CY = I

Celle fonction, dont la dérivée ligure ici prise par rapport à ;/„,

n"est autre, sauf un facteur constant, que l'expression de x, -+- /r,

(II, i4) relative à un point quelconque de 1 herpolliodie pour le

, 1 T^ . T cos CY ,

nrcinier mouvcinent a la l'oinsot. J.c rapport tt^ =: tanço est

' t^' cosGX ° '

donc égal à -7".' • Par conséquent, la rotation du plan vcvlical

contenant l'acre du corps est constaniment égale à la rotation de la tangente dans V herpolliodie relative au premier mouKCnicnt à la Poinsot composant.

Celle proposition éclaire d'un jour nouveau toute cette tlicorie : on voit d'abord que le mouvement oscillatoire du plan vertical correspond aux points d'inflexion de l'IierpoUiodie, et, en second lieu, que l'angle t^o est précisément égal, en valeur absolue, à yo, (juand, dans l'iierpolliodie, l'angle y varie toujours dans un même sens ; au contraire, si l'angle y varie avec oscillation, 'Ijq diffère de y,, par une demi-circonférence. Enfin le fait si remartjuable que la rotation movenne 'i/,, est toujours de même sens que la rotation enêctivc au moment où l'angle CZ est minimum, ce fait se rc- Irome ici tout naturellement. En cflét, le minimum de CZ {u =■ t'i' } correspond au maximum du rayon vecleur dans l'herpol liodie, cl, d'après la forme de cette courbe, il est évident que la rotation périodique de la tangente s'cn'ectue toujours dans le sens niênie où cette tangente tourne eflcctivement quand son point de ( on tact passe en un sommet où le rayon Nccteur est maximum.

A peine est-il besoin d'ajoulcr que, pour le cas où l'ellipsoïde d'inertie est une splière, la même relation a lieu entre le mouvement relatif du plan vertical par rapport au corps et la rotation de la tangente dans l'iierpolliodie du second mouvement à la Poinsot.

(iiAi'irm; m. — iuitaiion d i n c;uki'S (.iia\i; dk jiévuli iio.x. \>..i

Expression des composantes de la rotation.

Dans les calculs (]t.i début, nous avons ('liniinc, sans les calculer, les composanlcs />, q de la rolalion. On peut calculer /) -+- i<j par l'une ou l'autre des équations (p. 80) entre lesquelles on ;i <'llniin('' cette quantité. Il est visible ainsi que p -\- iq est une loncliou (loublenient j)ério(Jique, de seconde espèce, ayant niénies uuilli|dicateurs que cosAZ + /cos]]/. Mais, a|)rès cette obsei-valion, on obtient/) -|- iq par un autre moyen plus siin|)I('.

i">n eniplovant pour a la même expression qu'à la page ()i, on obtient, sous la forme suivante, l'expression de cosAZ + /cosl>'/, analogue à celle que Ton vient d'employer pour cosCX d- i cosC^ :

(cos.\Z -4- i cos BZ)c "

du\-pax — prt G'(a -(- ai ) jH J

Les équations (4) donnent, d'autre part,

— -~ — i-^ = 1(1 — /•){/) + iq) --.- \ /j( cocAZ — t cosBZ)

nu, sous une autre l'orme (17), \)c la comparaison résulte

- -!- (rosAZ -(- i cosBZ)e "^

et, de même, /' — 'V

poi—pa :f{a~oi):fu

~\l pcii — pa ■ii a - - tii) -^ Il

sans aucune constante à dé-terminoi" dans l'inlt'gration, ])uis(pic l.i (orme ainsi lrou\ée est bien celle d Une fonction ayant les multiplicateurs connus d'avance. Sans cjue nous \ouiions y insister, on ne manquera pas d"obser\er (pie irs composantes de in rolalion

sont proportionnelles aux coordonnées du point correspondant sur V herpolhodie du second moui^ement composant. De même, dans le mouvement relatif de l'espace par rapport au corps grave, les composantes de la rotation sont proportionnelles aux coordonnées du point correspondant sur Thcrpolliodie du premier mouvement composant.

Expression des constantes au moyen du mouvement initial.

Pour compléter les notions que nous venons d'exposer, nous allons dire (juclques mots des conditions expérimentales qui permettent de réaliser les divers cas du mouvement. On sait qu'il existe, à cet effet, un appareil imaginé par M. Gruey, et composé d'un tore monté sur un axe autour duquel le tore peut recevoir un mouvement de rotation. L'axe du tore est suspendu au moyen d'une suspension à la Cardan. Nous appellerons son extrémité la pointe de l'appareil.

Nous supposerons le tore animé de la rotation r autour de son axe quand on vient à suspendre cet axe ; on donne à cet axe une inclinaison arbitraire sur la verticale, inclinaison qui peut être supérieure à 90" (auquel cas Tappareil a la pointe en Vair) et on l'abandonne en imprimant à la pointe une vitesse arbitraire \v, perpendiculaire à l'axe.

L'impulsion, par laquelle est communiquée cette vitesse, est supposée donnée perpendiculairement à l'axe pour tous les points du corps. On peut la concevoir comme une rotation dont l'axe est normal à l'axe de l'appareil. Les composantes de cette rotation sur les axes A, B du corps sont les valeurs initiales de />, q ; la rotation /■ est la constante désignée jusqu'à présent par celte lettre. La constante a s'en déduit (i) ; la valeur initiale de l'angle (jZ est connue, enfin |j est une donnée relative à l'appareil. Nous avons à trouver par là y et 0.

Prenons pour unité la longueur de l'axe. J-iCS composantes de la vitesse (vde la pointe sur A, B, C sont alors ^, — /j, o. On a donc (6)

(89; (r2 3^p(cosCZ + Y);

de là l'expression de ^y

^Y = (i'2 — 3 cosCZ.

(UlAPITRf: m. - IKtT.VTION d'iN COIU'S (illAVK DK RÈ VOLUTIOM. I "20

D'autre pari, (rapiès les éyalilés(-, "o), nous avons

p cos AZ -f- q cosBZ — -r- sin-CZ = o — a cosCZ, ' al

il où r(''sulle

0 = a cos GZ -f- p cos AZ -4- </ cos lîZ,

i'C qui tlétcrininc o.

Pour préciser coniplètomenl, on peut choisir la position initiale (les axes et supposer 13 coïncidant avec \, en position et en sens. I^'axc C du tore est alors situé dans le plan XZ et l'on peut supposer positive sa projection sur X. Comme les deux systèmes d'axes doivent être congruents, le sens de l'axe A est alors fixé. Il est situé dans le plan XZ, et l'on a

AZ=CZ-(--, cos AZ ^— siiiCZ,

ce sinus étant positif.

Il est plus commode de considérer, au lieu de/?, q, les composantes de (v sur les axes fixes X, Y, Z-, ces composantes sont

(l'j = ^ cos CZ, ir, --—/*, "^c = — <7sinCZ.

L'expression de o devient ainsi

0 = a cos CZ -\- H- , si n (JZ .

Nous pouvons enfin supposer l'axe Y^ pris dans le sens de la composante it'v, en sorte que ^Vy soit positif. La rotation actuelle du plan vertical contenant l'axe est également positive. La constante a, qui a le signe de /•, est positive ou négative, suivant le sens de la rotation du tore autour de son axe.

Les données relatives à l'expérience que l'on veut faire sont, comme on voit, tout à fait claires et sont traeluites par les nombres a, i\', Wy et par l'angle CZ. On peut s'en servir aisément pour étudier le mouvement du corps.

Cherchons, par exemple, les conditions du mouvement oscillatoire. Soit d'abord a >- o. L<a première inégalité (71) se réduit à 0 <; a, c'est-à-dire

(90) «7 < a langiez.

lîG DEUXIÈMK l'Ain IK. — APPLICATION^'.

(hiaiil à hi seconde inégalilé (7 i), on a

(|uantilc positive. La condition (()()) est donc la seule pour le cas où la rotation du tore autour de son axe est du même sens que celle du plan vertical autour de la verticale.

Soit, en second lieu, a -< o. On trouve immédiatement que tv, doit être inférieur aux deux quantités

— acot \(VA.

3sinGZ

(jomme i\'>- est inférieur à iv, cette condition sera remplie en particulier si <v est moindre que les mêmes quantités, c'est-à-dire si l'on a

, ^, 3sinCZ (91) — acol-^GZ > 4r > ^---

Ces conditions exigent celle-ci :

a2 >.>,,'ilsiiiM CZ.

11 est à remarquer que les conditions (91) sont nécessaires si l'on suppose iVy = iv, c'est-à-dire si la vitesse w est horizontale, si donc on prend pour l'instant initial celui où la pointe est, soit au plus haut, soit au plus bas. Mais, comme a est négatif, on peut être certain fpie, les conditions (91) étant remplies, la pointe sera au plus bas. C'est ce qui résulte de l'observation faite précédemment (p. i i8) sur le siirne de a dans le cas du mouvement oscillaloire.

Mouvement pendulaire : rotation du plan vertical.

Un pendule conique est un corps grave de révolution suspendu par un point de son axe et dont on suppose négligeables les dimensions dans les sens perpendiculaires à cet axe. Il est donc caractérisé par la supposition que le moment d'inertie 11 autour de cet axe est nul. Cette supposition se traduit dans les formules par a=o(i).

On doit remarquer que l'hypothèse u =:^ o convient également

CHAPITRE III. — UOIATIOX 0 L.N COUPS (illAVl- DK Rf;Y()l.l TIO.V. l ">.-

au cas d'un corps grave do rcvohilion f|uolc()ii(|iie, pourvu (hi'oii suppose r = o (i). Ainsi un corjis de révoluliou prend le inouveinent pendulaire rpiand la rolalion ccjnslanle autour de son axe n'existe point.

A l'égard îles mouvements à la Poinsot composants, l'Iiypotlièse a i^ o donne (.mj)

Telle est la supposition qu'on doit iaire sur le j)rcmier mouvement à la Poinsot pour obtenir le mouvement pendulaire.

La formule relative aux points d'inllexion dans Phcrpolhodie

( p. ()i) montre que -j- -j-^ a pour numérateur une constante. I*ai-

la formule (70), on voit aussi que ' a pour numérateur uikî

constante, en sorte que la rotation du ])lan vertical contenant le pendule se fait toujours dans un même sens; mais, en outre, la rotation moyenne 60» celle qui correspond à une demi-périodi^, est comprise entre deux limites fixes : c'est ce que nous allons établir.

Des deux arguments r/, «,, un seul est arbitraire; car, en vertu de la condition a = o, on a (3i)

Posons r/, = (0 -t- fVz, , en sorte que a\ soit une variable réelle, et formons la dérivée de 'i^o pai" rapport à a\. D'après (9^), nous

aNons

j)"(/i da\ = ])"u (la

et, par suite (85),

dciy dcii ^ p Cl

P"« ^ = J >"« ( w p a 1 -^ T, ) — jV'a 1 ( oj j3 rt -i- T, ) .

Remplaçons j)" par ()j)- — ^gii et nous obtiendrons ('.)i) ^'"^ ^ -r^ == — [w(Gpaj)a,-i--^^.2)^-67i(pa-i-j3a,)].

128 DEUXIÈME PARTIK. — APPLICATIONS.

Avec les arguments a, r/, salisfaisant à la relation (93), il en existe un troisième r/o, donnant aussi

p'a = p'ay = p'a,, et l'on a (t. I, j). 1 l4)

pa -^ pa^-h pcii = o.

pa pai = p2rt,i^,,

Soit posé pa-2 ::= J", Tégalité (gi) devient

pai — pa da\

Les trois arguments r/, r/,, ^o ont pour somme une période. Le premier. <?, est purement imaginaire; le second, «,, est de la forme (0 + m',, avec a\ réel; le troisième, «o? est de cette même forme, et, si l'on fait varier pciy depuis e, jusqu'à Co, pcio varie en sens inverse depuis e^ jusqu'à e,.

Le polj'nôme wx- — r, j; — lo2' étudié au ïome I (p. 3i5), est négatif pour les valeurs extrêmes j- = e^, ./' ^ ^i . Il est donc négatif pour toutes les valeurs intermédiaires, c'est-à-dire ici toujours négatif. Quant au coefficient de la dérivée, au premier membre, il

est négatif 5 car pa^ — pa et p"a sont positifs. Donc -^ est toujours positif. La fonction 'Iq est donc croissante, comprise, par conséquent, entre ses deux valeurs extrêmes. Supposons a\ allant de zéro à —• Les valeurs extrêmescorrespondantessonl. j30ur a^ cif et 'i>o, les suivantes (85)

rti=o, «1=0), a = — co' <liQ = -

Ainsi, quand -. — est positif, on a

(96) -<'}d<tt.

De même, si l'on supposait a\ allant de zéro à :, on trouve-