CHAPITRE III. — ROTATION d'uN CORPS GRAVE DE RÉVOLUTION. I

rait que -^o est compris entre — - et — tz. Ce cas ne diflère pas au

fond du précédent; on peut même en faire abstraction si l'on suppose ~ pris à volonté, positif ou négatif.

Les deux limites (96) entre lesquelles 'i/o reste toujours renfermé montrent la généralité d'un phénomène reconnu d'abord par l'observation et dont nous allons parler.

Quand cos GZ ne passe pas par zéro , c'est-à-dire quand le pendule ne traverse pas le plan horizontal de suspension, la projection de la trajectoire de son extrémité sur un plan horizontal présente une suite de sommets, en chacun desquels le rajon vecteur issu du pied de la verticale est successivement maximum et minimum, en même temps que l'angle CZ lui-même.

Si 'la était égal à -> la courbe serait un ovale avec deux axes de

symétrie. Comme 'ho n'est pas égal à -> l'apparence est celle d'un

ovale décrit par le point et tournant lui-même. Mais, comme ']>,)

est supérieur à -^ , l'ovale semble lou/ner toi/Jours dans le sens

même où l''exttémité du pendule, en projection, décrit cet ovale. En outre, comme ^^ est inférieur à tc, le moyen mouvement de l'ovale est toujours moindre cjue le moyen mouvement du point sur cette courbe. La première de ces propositions a été démontrée, pour la première fois, par Puiseux, en 184?..

Réaction de la tige du pendule.

Si l'on avait traité directement le problème du pendule, on aurait considéré le mouvement de l'extrémité comme celui d'un point pesant, astreint à rester sur une sphère. En désignant par X, Y, Z les coordonnées de ce point, par N la réaction normale à la sphère, ou réaction de la tige; par ^'' l'accélération de la pesanteur, on eût posé les équations suivantes (supposant la longueur du pendule égale à l'unité)

. V d'-\ ^,^ rf2Y ^,^, rf2Z

Calculons N par la dernière équation, en observant que ^ est H. 9

l3o DEUXIEME PARTIE. — APPLICATIONS.

justement la valeur que prend ici la constante - jS (i) , et que

Z coïncide avec cosCZ(i()), la longueur de pendule étant prise pour unité :

(98) ^^.P«. + .P^-^.P«^,pa. + ^P»^ da = -ult.

Nous avons donc (97)

Suivant (ya), on a

(prti — p«)2 = .^2 — 3p2a2;

comme, de plus, ip" u = 12 jj-;^ — ^2? il vient

et enfin

(99) \ = 3-:2(2pî< — pa.).

Nous envisagerons un peu plus loin les conséquences mécaniques.

Digression sur un cas de l'équation de Lamé.

Les coordonnées X, \ du dernier paragraphe ne sont autres que cosCX et eosC\ , en sorte que les deux fonctions cosCXzbicosCl vérifient toutes deux l'équation difierentielle linéaire déduite de

^^ = (6pM — 3pa2)3.

Nous avons déjà parlé (t. I, p. 235) d'une équation analogue

Toutes deux sont comprises dans la forme commune

(100) -j^^ = n{n^i)(pu-^-^-:tjz,