CIIAP. IV. — MOL'VEMEM UIN CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI
En inlégrant el fij;uranl par o cl o, les deux conslanlcs, nous avons
(■)3) Z -)- consl. = ot -h Oip[i:i(u -h v) -h Cu — u pi>];
Nous avons, on le voit, résolu le problème qui consiste à délcrniincr explicitement, en fonction du temps, la position du solide.
Notions générales sur le mouvement du corps solide.
Indépendamment de toute discussion approfondie sur les formules que l'on vient d'établir, on peut se faire une idée sommaire du mouvement que ces formules représentent.
Soit 0 le rapport de l'accroissement du temps à celui de
i ))) 0 = — = -; , t — i) — t- constante.
Nous supposerons réelle la constante arbitraire p. L'argument u ou, du moins, sa partie variable prend des valeurs soit réelles, soit purement imaginaires, suivant que 9 est lui-même ou réel ou purement imaginaire, suivant donc que (/?' — />) est positif ou négatif (r est positif, car la force vive T est nécessairement représentée par xxnc forme positive).
Comme les invariants sont réels, il y a une période déterminée >. 0), de même espèce, réelle ou imaginaire, que les valeurs de l'ac-
, ., , .'Il 5! Où)
croissement de u; il } correspond une période de temps /o= —r'
Considérons d'abord le mouvement angulaire de l'axe G ou axe du cotps. Le cosinus de l'angle CZ (4^) est une fonction doublement périodique, dont une période intervient seulement. L'angle CZ reprend donc la même valeur à la fin de chaque période de temps.
l66 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Considérons maintenant l'angle <l que le plan des axes G et Z fail avec Taxe X. Cet angle est donné par la rormule
„ , , cos ex -+- i cos CY C^'V = ;r^ -. ^— •
cos ex — i cos G Y
On voit par là qu'à chaque période de temps l'angle à se reproduit, augmenté d'une constante '%, de telle sorte que les fonctions doublement périodiques de seconde espèce cosCX dr i cosCY admettent les multiplicateurs r-'4'o correspondant à la période aôi.
Ces deux angles CZ et à définissent complètement le mouvement angulaire de l'axe G du corps. C'est un mouvement varié, mais qui coïncide périodiquement avec une rotation uniforme,
de vitesse —5 autour de l'axe Z.
Envisageons actuellement le mouvement de l'origine des axes mobiles ou centre du corps. La coordonnée Z est représentée par une fonction (53) qui se reproduit, à chaque période de temps, augmentée d'une constante Zq. Les deux quantités X±i\(52) se reproduisent, multipliées chacune par une constante; mais, comme on l'a vu, ces fonctions ont les mêmes multiplicateurs respectivement que cosCX rh i cosCl , c'est-à-dire e-'^'o. Le mouvement du centre est varié, mais coïncide périodiquement avec un mouvement hélicoïdal uniforme, dont l'axe est Z et dans lequel au temps ^o correspond une progression Zq, parallèle à l'axe, et une rotation 'l^ autour de cet axe.
En réunissant les circonstances relatives au mouvement angulaire de l'axe et au mouvement du centre, concluons que le mouvement de l'axe lui-même coïncide périodiquement avec un mouvement hélicoïdal uniforme, ou mieux, se compose de ce mouvement et d'un mouvement périodique.
Considérons enfin l'angle o que le plan des axes C et Z fait avec l'axe A du corps. Cet angle est donné par la formule
ros AZ -î- i cos BZ COS AZ — t cos BZ
Les deux fonctions cosAZ zh /cosBZ ne sont pas, suivant l'acception ordinaire, doublement périodiques de seconde espèce,
CHAP. IV. — MOUVEMENT d'uX CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI. 1 67
sauf si l'exposant [i est un nombre entier. Mais, dans tous les cas, elles ont la propriété de se reproduire, à chaque période, multlplircs j)ar des fadeurs constants. L'angle cp se reproduit donc augmenté d'une constante '^o- ^'^ctle circonstance, jointe aux précédentes, permet de tirer la conclusion suivante :
Le mouvement du solide se compose : i" d'un momcmenl hélicoïdal uniforme autour de l'axe 7^; 2" d'une rotation uniforme (à vitesse — ) autour de l'axe du corps; ^" d'un mouvet» /
ment périodique (à période /„ )•
Énumération des constantes. Homogénéité.
Dans la suite des calculs qu'on vient de parcourir, il Importe de ne |ias perdre de vue les constantes primitives et leur liaison avec celles qu'on a été conduit à mettre en leur place.
Les constantes données sont au nombre de dix, savoir: i " les six coefficients de l'expression (7) de la force vive/;», //, 7, </', /•, /•'; 2" les quatre constantes d'intégration /, m, n,y:\ (4; 5, 6).
Dans nos formules, on volt figurer Implicitement les deux Invariants des fonctions elliptiques et explicitement les trois arguments constants r, <7, b. Les arguments r/, et ^, peuvent être omis comme déterminés par les précédents. Ce sont donc là cinq constantes.
La constante d'homogénéité 0 peut être omise comme entièrement arbitraire, ou bien l'on peut encore observer que les fonctions elliptiques interviennent, dans toutes les formules, avec le facteur p de manière à respecter l'homogénéité : toutes les combinaisons qui s'offrent sont, à ce point de vue, du degré zéro, p et chaque argument étant censés du degré i.
Avec ces cinq constantes elliptiques, les formules présentent cinq autres constantes que nous devons distinguer, savoir : a, y, 0, 0, 0,.
Nous allons reconnaître que ce second svstème de dix constantes détermine complètement et sans ambiguïté le premier.
En premier lieu, au moyen des elntj constantes elliptiques, on
détermine /??, — et les constantes auxiliaires /;?,,'//, s, par les for-
l68 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
mules (33, 34. 36), que nous transcrivons ici :
5 \fm = T?'Hj3^-4-p« — p(« -4- t') — ,P(* -+- ^'j]-
L'exposant ^, qui figure dans les formules (47)? est déterminé par les quantités précédentes, puisqu'on a (4o)
Les constantes auxiliaires /??,, A, s sont liées aux constantes primitives par les relations (12, 23)
pm ^ ign-k- r'yl — l
Quant aux constantes que nous avons distinguées dans les formules, elles s'expriment ainsi (4o, 49? 54, 55) :
if, hi q — 7 )1 •S/"' qssj m
8 Vs'
'' = ^^ \P"^-^9^ — ilh^ip' — p)\, y m
iry^ ^ m is \/ m
Nous venons de reconnaître que, parles constantes elliptiques, soni déterminés ^ni^ —■> in^^ A, a. Maintenant, au moyen de 0,,
OHAI'. IV. — MOUVEMENT D IN CORPS SOLIDE DANS IN LIQUIDE INDÉFINI. I Gq
sonl cK'lerminés JK3 cl, par consr'(|iK'nl. //.Au inoven de 0 el y sont onsuile déterminés /• el */, puis y' p;ir la rclalion
(60) // — .irysi q'— (/)fy-:
/■' au moyen de a, p el p' au niojcn de s el de 0, enfin / au moyen de /)ii .
Il est donc établi que la connaissance complète du mouvement Aw corps entraîne aussi la connaissance des constantes qui iîgurenl dans les équations difTérenlicUes et les intégrales.
11 n'en serait pas de même si l'on connaissait seulement la rotation du corps, non sa translation. Et d'abord, il est évidenl que la connaissance de la rotation ne peut entraîner celle d'aucune longueur. La rotation ne peut déterminer donc que des combinaisons de degré zéro entre les constantes, ce qui en réduit le nombre d'une unité. En outre, 0 et 5, n'interviennent pas dans les formules de rotation. La rotation dépend donc seulement de sept constantes, et c'est ce qu'en effet on reconnaîtra plus loin.
Il est aisé de trouver, à ce point de vue, les degrés des diverses constantes. Par rapport à l'unitc; de longueur, la force vive est homogène et du degré 'i, les vitesses U, V, W sont du degré i , les vitesses de rotation P, Q, R sont du degré zéro. Il en résulte, pour X(, x-ii .2^3, le degré i; pour j^j , j^.j, jKs. le degré 2; pour p,p'-) le degré zéro ; q, q' , le degi-é — i ; '", 1' , le degré — 2.
Les degrés des autres constantes en résultent, savoir :
Si les arguments elliptiques sont considérés comme de simples nombres, p est une longueur.
Expression des éléments elliptiques en fonction des données.
Pour avoir plus de symétrie dans les formules, nous emploierons, au lieu de /», /;<|, /;, h, les notations suivantes :
DEUXIÈMR PARTIK. — APPLIC.VT10>S.
Ces quanlités, ainsi que 5, sonl loiUcs des longueurs. Par leur emploi, le polynôme (i^^) sV'crit ainsi
{Xl -f- 4 Vi Xs — IX\ -4- 4vf ) {Xl — [X2) -+- .Ç2 (X3 — v)2.
Si, pour faire disparaître le second lernie, on pose jc.] =j)' — v, , ce polynôme devient
(j- -+- 2 V, J/ -^ Vf — IJ.1 ) (j2 — -2 V,J>- ~ Vf — JX^ ) -H 5^ 0'— V — V, )•- ,
et doit (t. 1, p. 119) être identique à cet autre I3c la comparaison se tirent innncdialemcnt
[Xl —s-,
i 2p^P'^' = Vi (uf — [^5) 52(v -4- vi )
et cette combinaison, qui servira plus loin,
( 63 a ) p' ( 1 2 p2 f — ^2 ) = I ( 2 Vf -^ ;a2 4- ;j.f .V2 )2
— ( ^^1 — I-^'- ) (^^î - 1^1 ) — .^2 ( V + Vi )2.
l'ar le théorème d'addition (t. I, |). 3o) on a
po -+- p(a -+-(.;.+ pv donc, d'après (33) et (()3),
4 \ Ji « — Ji ''
(64) p2[p«^p(rt + (,j] = ^[6(vi-^-[j.)2-2vf — ;j.2- [Jif -1-52]
= i [(2v, -+- 5 ;j.) ( 2v, ^^ p.; + 52 - pf ] ;
nous avons ensuite, d'après (3G),
(64 «) p2[pa^p(^a-^-v)] = 5([j. — v).
Par ces deux dernières relations sont connus pa et p(a + v). D'après les mêmes égalités (33) et (63), nous avons de même, en changeant les signes devant s et ij..
?-[P^-^P(f^^^)'\=-^ J[(2Vi-'5;7.)(2Vi-p.)-f-52-[xf],
CllAP. IV. — MOLVEMEXT d'lN CORPS SOLIDE DANS IX LIQUIDE INDÉFINI. IJI
De CCS relations (64) cl (65) se concluent les suivantes :
p-[P« -^pia — i') — 7.pv\
= (v, -\- ;JL)2 — [ (2V^ -i- fx2 -4- [AÎ — 52) = 1(^2 — [x] -^ s"- -+- 4 V, [i ) ,
Par le théorème d'addition, on a
p'«— p'i' — p'(a-f- (') — p't' p'a-^Y>' (a -^ cj jVa — p' (a -+- r i — 2 ,p V '" ~ prt — pi' ~ p{a-^v) — pv ~ p rt — p ( rt -f- v) ~ P «-^ P(« -^ ^') — '-^,1' ''
Remplaçant zz-a par ;ji. + v, (33), on conclura, au moyen de (63)et(64«), '
p5[p'rt-^p'(rt-4-p)] = 25(;^ — v)(u-+- vi), P'[P'«— P'(«-^«^)] = 52(;a — v)-+-[x(;x2— a^) -^4via(v, -|- [x).
Semblablement, nous aurons
?'^{p'b-^p'{b-^i)]= 25(v -i-|x)(vi— [X),
p3 f p' b — p'( 6 -!-(•)]=— sî( ;x -f- V ) — ix( ;x2 ^2 , / ,;, rj.( Vj — |X ).
Des calculs analogues donnent les fonctions j) et p' d'arguments rti, /^,, «i-h r, ^1 + r. Voici les formules pour les fonctions j) :
I p'[p6i-^P(^i ^^•)] = (''!-+- !-ii)'—i(2v2^u2+ af — 52),
i p2[pa,-4-p(ai— (•)]= (vi — ;xi)2— >-(2v2 -f-[x2^;x2 — 52),
1 p2[p«i — p(«i-T-t')] =s(;Xi— 2Vi — v),
Nous aurons tout à riieiire besoin de connaître aussi les fonctions j) et p' pour les deux arguments — (a -^ b -+- t) et {a — ^), que nous désignerons par t'o et r,,
Tu = — (rt -4- Z> -f- V }, l'i = rt — 6.
Le calcul n'oflre aucune difficulté parle moven des formules précédentes, mais il contient des réductions remarquables. On trouve d'abord, dans ce calcul, les résultats suivants :
ù P ( h -^ i- } — n'a F s-i p p'Ca-!-ci — ]V h i 5v
2 p(6 -+- t') — j)« •>. ;x 2 p(a-rr) — p6 2 ;x
2 po— p6 ' 2 ' 2 J>(«-i-r) — j)(^^ (•) .a-
On a ensuite
Sur un cas particulier.
Les formules de la rotation se simplifient d'une manière remar- ([uable dans le cas particulier où l'argument constant v est supposé nul, et nous allons nous arrêter un instant à ce cas.
Par la théorie générale de linversion, on sait déjà (t. I, p. i33) que c'est ici le cas où le polynôme (i3) se réduit au troisième degré, où l'on a, par conséquent,
D'après l'intégrale (5), {m — x\) est une quantité positive; le polynôme (i3) prend donc des valeurs positives pour des valeurs de Xz comprises entre \l m et — ^ rii^ tandis que, pour ^3 = ±:^/;?, il est négatif. Ce polynôme a donc trois racines réelles. Le discriminant est donc positif.
L'hypothèse (' = 0 rend infinie la fonction ^(17). Mais, si l'on prend la différence de deux pareilles fonctions, d'arguments différents, on a
Iim = lim -^ : 5-i •— = p6 — pa.
La formule i^da), qui donne cos CZ, se réduit à celle-ci
toute semblable à celle (111, 19) qu'on a rencontrée dans le mouvement d'un corps grave de révolution. Les deux formules coïncident entre elles si l'on remplace les arguments actuels 6 et « par ± rt, et ± a.
En cherchant ainsi les formules de ce cas particulier comme limites des formules propres au cas général, il faut d'abord faire
ClIAl'. n. — MOrVKMF.NT d'in COUPS SOI.IDK DANS l.N l.lyi lUi: IM)I-IIM. IjS
en sorle (juc la rrlalion ciilrc le temps cl rarj^uiiienl variable a soil composée en termes finis. Supposant // — /; iiiliiiinuiil p(,'lil (lu second ordre, il faudra donc supposer p iulinimcnl i;rau(l du premier ordre (.)')).
La quantité s est ici infiniment gi-andc du pieuiicr oidre ('^S); ///, et II sont infiniment grands du second ordre, ainsi que v, et a, {Çfi). En outre, ;ji.( a même partie principale que ±2v,, suivant le signe choisi devant le radical \/ \ h- -\- m'\ . Disons que la partie principale de u, est 2$v, (s ^ — ')•
Dans les formules (63), les parties principales des seconds niemhres sont alors x^/] -\- \x\ ou 6v'; pour la première et v, |j.'| ou f\^r\
pour la seconde. 11 faut eu conclure cpie - a pour partie principale
— V, et que r est infiniment petit du premier ordre.
Les formules (64, 65) donnent, pour pa et pb^ des expressions finies, à cause des termes l\v'\ — ix^, dont les parties principales se détruisent dans les seconds membres. yVinsi la formule qui donne cosGZ a un sens bien déterminé dans ce cas limite.
Quant aux arguments r/| et b^, on voit par les formides {Ç>Ç>) que l'un d'eux est nul; c'est Z>|, si u.,==2v, ; c'est, au contraire, r/,. si [i.( = — 2v,. Celui des deux qui n'est pas nul est égal à dz (« — b), comme il résulte de la relation générale (26) entre les quatre arguments. Enfin, la relation harmonique (3o) est satisfaite par la coïncidence de trois éléments.
Examinons maintenant la limite des formules (5o), qui donnent cosGX dz /cosCY. En y remplaçant D, et y [)ar leurs expressions (1^> 49)' O" ^3 pour limite de ces formules,
„., . r^xr ., :!'a -^b :j(u -h a) :j( u-h ù) .y. y,, ,— .,
COS G\ -- l COSCY = 2 Kl \ ; '—^, :; ('-(Ça+Ç6)« C"'/ *^"' ",
::'{a — 0) a'{a -y- o) j'-ii
cosCX — tcosGY = — -p ; i- — ; — '—^, __' e(!^«^-ï* « ei''>"'t.
Li 3'(a — o)a'{a -\- 0) a'^u
Si, au lieu de b et a, on met <7, et — rz, ces fornudes dilTèrent des similaires, obtenues au Chapitre III (ïil, 29, 3o), par le seul facteur e^'/v/'"<■^
La limite des formules (47) se trouve d'une manière un peu plus compliquée. Il faut, pour l'obtenir, connaître les deux pre-
l'^.\ DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
micrs Iprmcs du développement de ^v'. Pour les avoir facilement, prenons la formule (33)
A == £11 ^ -^^.^ -/,= l(a -^ i') — l^a -h ^0 -^ i^) - C^b - -ily.
En supposant i' infiniment petit, elle donne
— li> = - -+- U-(pb -{-pa)-h
On a de même, par une autre des formules (33),
-^ =t.-(p^> — pa)+...,
en sorte qu'on peut écrire
/ 1 y/ti p 1) -\- p a
tv
De là résulte (4o)
\ hs(q' — q) s /— , , pb-\-pa
— '^Cy:=z- 1 ^-i A <^>n{q — q) —. h...,
4 p/'X3 PO'3 pb — pa
la lettre / désignant, pour abréger, la quantité réelle entre crochets.
D'autre part, en mettant — ^ pour la partie principale de v,
on a
ii,n["':-''r=
où il faut observer que - est une quantité finie.
CIIAP. IV. — MOIVEMENT l)'l N CORl'S SOLIDK DANS IN LIQl IDE INDÉFINI. IJÔ
SI Ion lient conijde de Texprcsslon (Sj) donnée pour D, on oblionl ainsi la liniile des ronnules {/\~ ) :
«ns AZ -- i cosBZ — ahe " ; — — -, — -rr- e^ ^ c ■' ,
«.osAZ — M'osB/=— -r^e * r— — 7 j-—, — C " C "' .
h :iya — b) j (a -r- b) j - «
Si l'on \ incl encore a^ cl — a au lien de h el a^ on a encore ici des formules 1res semblables aux similaires obteuues dans le Chapitre III (III, S, 'iGa). Mais, dans les équations actuelles, la première exponentielle constitue cependant une différence bien notable. Cette exponentielle disparaît quand on suppose rj =^ q' dans l'expression (y) de la force vive. Llivpothèse q = q' est une de celles que l'on peut faire, en effet, et elle répond à un cas important, comme nous le dirons plus loin; mais il n'y a pas lieu de la faire en même temps que la supposition p ^ p' dont nous nous occupons actuellement. En effet, ces hypothèses, faites à la fois, ont pour conséquence de réduire au second degré le polynôme (i 3) et de faire dégénérer les fonctions elliptiques.
C'est donc seulement à l'égard des Ibrmules qui donnent cosCZ et cosAXit icos ,\Y que le rapprochement avec les formules du Chapitre III a de l'intérêt. On conclut de ce rapprochement que, pour le cas/> = />', la rotation de l'axe du corps et celle de l'axe d'un solide pesant de révolution, dans le vide, diffèrent seulement par une rotation uniforme ( de vitesse q\Jin).
Discussion des formules.
La discussion que nous allons faire a pour but de préciser la nature des constantes figurant dans les formules, en distinguant les divers cas qui peuvent se présenter.
Dans tous les cas, la constante m est positive et la variable X:^ ne peut acquérir que des valeurs comprises entre — \ ni et + \ m ; c'est ce qui résulte de l'intégrale (5). D'autre part, la même variable Xz doit prendre des valeurs qui rendent positif le polynôme F(jC3) (i3), tandis que les valeurs in y//;i rendent ce polynôme négatif. Il y a donc toujours, entre \ m et — y /«, au moins deux
racines réelles de F, et c'esl entre ces deux racines qiroscille la variable .T;).
Nous distinguerons trois cas principaux, suivant les signes de (^' — p) et du discriniinaiil.
D'après l'égalité (i i), les valeurs que prend x.^ rendent négatif le polynôme (^^1; + lix^ — W'i). La constante r est, en cfTet, positive comme coefficient d'un carré dans la forme quadratique positive T (force vive). Il en est donc ici de ce polynôme comme de (x\ — m) : ses racines sont réelles et comprennent les deux racines de F entre lesquelles oscille .r^.
Le coefficient dex.'j, dans F, est ici positif. Le polynôme F est négatif pour les valeurs de ^3 égales aux racines de {x-^ — m) el (Je (^x'\ + A^:i — ni\)- Donc F a encore deux racines réelles comprenant entre elles les cpiatre racines des polynômes du second degré. Soient x\ x" , x" , x" les iwcines de F; on aura ainsi
( — ^rn . ) „ , ( v/'" > 1
( i A — Vt /^' + "'1 ; ( I A + Vi 1^^ + /"i )
Les quatre racines de ¥ étant réelles, le discriminant est positif et i' est réel (t. I, p. i 23); en outre ( t. I, p. 129), u -\ w' varie d'un multiple impair à un multiple pair de la demi-période réelle quand j:., varie de x'" à x" . La relation précise entre t el // doit s'écrire
((kj) « = w'-^ + ^/,
de manière que l'origine des temps corresponde à ^3 = x" .
Les arguments a el b correspondent aux racines de [x\ — /??); l'une est entre x' elx", l'autre entre x'" et x'\ Ces arguments ont donc (t. I, p. 129) les formes suivantes, si l'on suppose \//n pris positivement dans la formule (32),
(70) ci= l-«a, o=— }- u} -\- 10 ,
(MAP. IV. — MOLVEMENT I)'lN CORPS SOLIDE DANS IN LIQIIDE I.NDÉI-IM. I 77
où a" et b" sont réels. De nièinc, pour <l^ et /y,,
(71) «1 = H «rt ", , l>i= H co -j- ib'\ .
Suivant (aS) et (•>-9), on aura
rt" -f- «', = h" -f- 6 ", = 1 c" ,
c = \- ic , Cl = i — ! ,
w = -\ 1- te ,
En prenant arbitrairement les deux arj^umcnts purement imaginaires (i , b\ dont les fonctions p seront réelles, puis c -h - purement imaginaire et arbitraire, on aura, par la relation harmonique (3o), j)(T' conjugué de J3c; d'où résulte, pour «r, la forme
— h /c", celle de c étant — - -f- ic" . De là résultent «7, b, ctf, b,, r
sous les formes ci-dessus.
Les caractères que nous venons de mettre en évidence ne se reproduiront dans aucun autre cas; aussi peut-on conclure ainsi : l*icnanl des fonctions ellipliqiies à discriminant positif, v réel, //, a. b, (7,, by sous les formes (69), (70), (71), ai'ec les constantes a, '^purement imaginaires et 0, 0, o^ réelles^ on aura, par les formules trompées précédemment, la représentation du mow^ement dans l' un quelconque des cas oii p' — p est positif.
