II. />' — /><o, A>o
Le polynôme F, dans ce cas encore, a quatre racines réelles. Supposons ces racines dénommées, comme tout à l'heure, x\ x'\ x"\ x'" et rangées ainsi par ordre de grandeur, mais dans l'ordre, à volonté, croissant ou décroissant. La variable ^"3 reste comprise entre deux des racines extrêmes, que nous supposons être x'" etj:". Les deux quantités ±\^fin sont l'une au delà de jc'^, l'autre soit entre x" et x" , soit en deçà de x' . De là deux cas lorl distincts.
Dans le premier de ces cas, le binôme {m — .rjj) est négatif (piaud ./■;( est compris dans l'intervalle (x'x"), intervalle où F est positif, (domine {p' — p) est aussi négatif, il faut que (//«, — Icx^ — .rj) 11. I?.
suit positif clans cet inlcrvalle, sans quoi le polynôme (i3) F ne pouiTiiil être positif. De là résulte que les racines du trinôme {.r''^-'^ fi.f'i — "i\) ■'^ont réelles et comprises, l'une entre x" elx'", l'autre en deçà de x'.
Dans le second cas, au eonlraire, celui où les deux quantités -f- k'/h comprennent entre elles les quatre racines de F, les racines tlu trinôme (j^-h/zX;, — //?i) peuvent être imaginaires. Si elles sont réelles, elles sont toutes deux, soit entre x" et x'", soit au delà de x", soit en deçà de x'.
Nous allons facilement reconnaître comment on peut choisir les ari;uments a, b^ <7|, h^ ])Our que les formules correspondent à un quelconque de ces cas. 11 suffit, à cet effet, de se reporter à la discussion qui a été faite dans le tome 1 (p. 12- à 129).
En premier lieu, c est réel et u est de l'une ou l'autre des deux
formes
(Ti) «= ; . , 7 =='^'
(' l'jt i
où ^' est réel.
PuKMiER CAS. — L'une des deux quantilés ± \^l ni est dans l'intervalle (x" , x'"). — En ce cas, l'un des arguments r/, b est réel, l'autre égala ± (>/, plus une quantité réelle; il en est tout de même pour «) et /v,. Sans restreindre la généralité, on peut supposer a-\ra\^ b-hbf réel. Alors les arguments auxiliaires (28, 29) w et c sont réels; a' et b' sont l'un réel, l'autre réel ± (o'. On obtient donc les formules propres à ce cas, en prenant les termes de la proportion harmonique (3o), de telle sorte que p(v, pc et pa' ou pb' soient supérieurs à e, et le quatrième compris entre e-^ et e-^. L'argument variable a Vune des formes (72); les constantes a, Y sont réelles.
DEtxiiiME CAS. — Les deux cjuantités ± y//« comprennent entre elles les quatre racines du polynôme F. — Les trois arguments a, b, v sont alors réels, l^es arguments «, et 6, sont des imaginaires quelconques si les racines de (xl-\-/iX3 — /?z,) sont imaginaires ; ils sont tous deux réels ou tous deux réels ± oj', si les racines de ce trinôme sont réelles.
Il s'agit de trouver, de la manière la plus générale, les argu-
CHAI'. IV. — MOI VE>1ENT d'iN CORPS SOI.IDK DANS IN LIQUIDE INDÉFINI. I 79
menls a, b^ ^/(, ^>^, c |t()iir satishiitu- ainsi aux coïKlilioiis ('>,G, '*.!). Posons, à cet cfTcl.
u\ — yj— w -^ c — a -^ h' ) = \{— V -^ a — b ),
\ »■, = U «r-h c -4-rt'-l- Z»') r= 1( r -i- <7, -T- ^,).
en
re
su II
«Il
"1 -^ ''0 = — ("' — fj' '•
Le rapport {in a) conserve donc la même forme avec les ar<^unienls //„, ii\, rj,, <•', rcmplaranl respectivement (r, c, «', ^', et l'on a, entre les fonctions p, la relation analogue à ( So),
( 74 ) ( P it'o — V ^'^ ) ( V "'1 — .P '"'i ) ^ ( J^ "0 — P '' 1 ) ( P "'i — P <-o ) = o.
Puisrpic rt, b, r sont réels, u\^, if\, c,, sont réels aussi. On dc\ i-a donc prendre pic]y, pif\i P^'o ""^^cls et supérieurs à e,, quelconcpies d'ailleurs. Le quatrième terme pr', en rcsulle. Il est réel. J^es arguments (7, et ^^4 sont alors déterminés par les deux égalités
«1 — bi =^ b — a. «1 -+-&! = •ît'', — v.
Si pc', est supérieur à ei, r', est réel; «, et 6, sont réels aussi. Si j3('', est entre e-y et e, ou inférieur à ^3, c', est purement imaginaire ou purement imaginaire à une demi-période réelle près^ alors a, et — b^ sont imaginaires conjugués; sipc', est entre e^ et e^, r', est réel sauf une demi-période imaginaire, et <:/,, bt sont réels ± (>/.
Les trois particularités, relatives aux racines de
{x] -h hx3— rui)
et signalées plus haut, se retrouvent netlement : on obtient les formules propres au cas envisagé en supposant a, b, «,, b^^ v déterminés par les arguments auxiliaires u'^, ;/', , r|,, r', (-Z) dont les trois premiers sont réels et le quatrième déterminé par la relation (74)- J-^^ constantes 0, 0, 0, sont purement imaginaires, y. et Y réels ; u a la forme (7^).
DKIMÉ'^ME PARTIK. — APPLICATIONS.
Le discriminant élanl négatif, le polynôme F a seulement deux racines réelles x\ x" ^ comprises entre les deux quantités rb \liti. Le trinôme (.rij H- A./;) — /;?,) a ses racines ou imaginaires, ou réelles et ne com|)rcnanl pas ./' et x" dans leur intervalle.
On obtient les constantes propres à ce cas par les mômes formules que dans le dernier cas ; il faut supposer p;/',,, pu\ , pr'„ supérieurs à ^2 • suivant (juc .pr, , déterminé |^ar l'égalité (^4 )> est supérieur ou inférieur k e,-, les racines du Irinôme [xl-\- kx-^ — nii) sont réelles ou imaginaires.
Décomposition de la rotation.
Dans les formules (4;, 5o, 4*^)» changeons les notations comme il suit :
■ u = — lia, i' = «1 -- //fl)
h = - \(i>o -•- Vi -t- i<o -+- Kl), a — — .1 (l'o — t'i -H i<o + «1 ),
5) G,^-E^-^^^^^±^\'-^^^±^e-<AK^-ri')\ J 3'y3'(a-r-i')L ^ u
Go = - Eie ' P -^ .
Ces foi'mules s'écrivent alors ainsi :
' «u 3'ro j ii\ j 't'\ •X
ros AZ -I t cos BZ — ces AZ — / cos BZ = cos ex -f- i cos CY =
cosGX — i cos G Y =^
Gj j'ho ^^"0 j "i ^'' ■■'-Go
j' Wu ^"''0 ^"l ^*'l
It
COSGZ =;
Go 3'«o ^<'u j' "l ^l'i
t{a-\- V) — ^a — 'Cv — Ki^-r-fj — ^b — tv ^
■iiii^,~^j.cui— > : —
71 „ «o-i- «i"n ( Po— ''i
V^ j. ?/n-t- //r-i= 1 fn
CUAP. IV. — MOLVEMENT I)"lN COUPS SOLIDE DANS IN LIQIIDE INDÉFINI. l8l
On reconnaît là les lormules (I, '>.6, 27, 3 >.) de la composilion des Irièdres ; les lelires X, Y, Z rem[)lacent Xq, jj'o, ^0 et y\, lî, C remplacent j^i, j>'i, ::|. De plus, dans la composition des Irièdres, les deux systèmes d'axes sont confjruenls ; ici il en est de même pour X, Y, Z et A, B, C.
On est donc en droit de conclure (p. 11) que la figure composée des six axes X, Y, Z, A, B, C coïncide entièrement avec celle qui est composée de deux systèmes d'axes définis, comme il a été dit dans la composition des Irièdres, par rapport ;"i un troisième système a, h, c au moyen des arguments Uq, ('0? '^i< < 1 et des quantités Go, Gj, telles que nous les donnent les formules du Chapitre I. Ces formules représentent deux mouvements M,), M,, pour lesquels les éléments variables sont les arguments //„, ?/|.
L'argument ;/o varie proportionnellement au temps.
La quantité Go (75) est une exponentielle du premier degré par rapport à «o- Donc Mo est un nwin-ement à la Poinsot. Il n'est réel toutefois que si le discriminant est positif, la variation de «0 réelle et si l'o est purement imaginaire à un multiple impair près de (o. Ces conditions sont satisfaites eflfectivement dans un cas, le premier de ceux qui ont été discutés plus haut, celui où (/?' — p) est positif. Dans le cas opposé, la décomposition n'est point réelle, et c'est un fait bien digne de remarque, quoique sans intérêt cinématique, que la décomposition d'un mouvement eflfectif en deux mouvements imaginaires.
Nous avons donc à étudier la décomposition dans le seul cas p' — /> ^ o. Quand la constante ^ est nulle, le second mouvement composant est encore un mouvement à la Poinsot. Mais, en général, décomposons Gi en deux facteurs, dont l'un soit une exponentielle du premier degré. En ne prenant que ce dernier facteur, nous aurions pour M( un mouvement à la Poinsot, dans lequel les axes X, , Y , , Z, , différents de A, B, C, seraient les axes mobiles, liés au plan roulant. Pour faire coïncider X(, Y,, Z, avec A, B, C, il suffira ensuite de faire tourner les premiers autour de Z, d'un angle ^j>, tel que e^'^ soit égal au facteur négligé.
Nous pouvons donc décomposer la rotation actuelle en deux mouvements à la Poinsot, en v joignant une rotation variée, mais effectuée toujours autour diine même droite. Cette décomposition, qui nous oflre un théorème analogue à celui de Jacobi sur
l8a DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
la rotation d'un corps grave (p. 90), va être examinée en détail. Les éléments du premier mouvement Mo sont entièrement déterminés par les formules {i-))- Quant au second mouvement à la Poinsot, que nous appellerons M', , nous avons à choisir, pour lui, la quantité G,, exponentielle du premier degré en n,, et nous poserons
en désignant par v. une quantité arbitraire. La rotation i| est alors définie par l'égalité
" ~\—7Tr-' \' '
d'où, en différentiant,
ou bien (69 et 46)
d'h p^ (^a — ^/,) cosZiZ -4- ^(i-i--6 ^ g — /. — ^
Ainsi la vitesse de cette rotation est de la forme
^ = McosZ,Z + N, dt
et les deux constantes M, N ont pour expression ^^^' ' I o'J , , a — y. — 5
N = - '-i^l^Za^Zl,)
Il est manifeste que les deux mouvements Mo, M', concordanls (p. 75) sont d'ailleurs tout à fait arbitraires. Etant donnés, ils déterminent les arguments a, 6, p et les constantes y, x -h 5. Si l'on prenait arbitrairement M et N, les constantes ^ et a — Jt — 5 se trouveraient par là déterminées. Mais (3 est liée aux autres con-
ClIAl». lY. — MOLVF.MKM' d'iN COUPS SOLIDE DANS UN LlQLIDl- INDÉFINI. l83
slanlcs; de plus, on pcul prendre N nul. On a donc la proposilion
suivaulc :
Pur rapport à des axesjixcs tt, />, c (axes do symétrie de deux ellipsoïdes ou iivpcrl)(iloïdes), deux systèmes (V axes X, \ , /, et X,, ^ ,, Z, sont animés de deux mouvements concordants à la Poinsot. Un autre système A,B, C, où l'axe C coïncide avec Z|, est animé autour de Z, d'une rotation dont la vitesse instantanée est
—, = .AI cosZ. /. • dl
Si la constante ^I est convenablement choisie, le mouvement relatif de A, B, C par rapport à X, Y, Z nest autre que la rotationRd'un solide dans un liquide, dans le cas où, la force vive ayant la forme {-) envisagée ici, // — p est positif.
Xous devons traiter maintenant les deux questions suivantes :
i" Trouver les constantes de la rotation R, c'est-à-dire les coefficients de la force vive, etc., en supposant les deux mouvements composants donnés ;
•2" Inversement, trouver les mouvements composants, étant données les constantes de la rotation R.
La solution de ces deux questions doit, bien entendu, être entièrement dégagée des fonctions elliptiques.
Détermination des constantes par celles des mouvements
composants.
Dans ce premier problème, les données sont deux mouvements à la Poinsot concordants iMo, M',.
Ces deux mouvements sont définis séparément et la correspondance entre eux est établie, comme il a été expliqué au Chapitre II (p. 79),. au moyen d'une position donnée pour les deux systèmes d'axes Xo, Yo, Zq etX,, Y,,Z,.
Les notations relatives à ces deux mouvements seront ici les mêmes qu'au Chapitre II (p. 'jO à -9).
r^a quantité t, constante arbitraire d'homogénéité, est liée à la
l84 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
quanlitr analogue p, qui a été employée ici. On a thi 1 du 3 p
Tout d'abord les deux constantes A et B (11, 56) fournissent immédiatement deux de nos inconnues. On a, en eflet (33)
A=|[rra--n-r«-r(<^+r) + r/.] = 2(.„-,) = ^',
Pour continuer la recherche, employons les formules (63) à (68), qui donnent p-pc, p'p'i', p-pro, ... en fonction des cinq constantes [jl, jx, , v, v, , 5, dont nous reproduisons, à l'égard des quatre premières, la signification (62)
- /j = vi — = V , ^ m = ;j- , 1 / 7 '''
Ce sont seulement les rapports de ces inconnues à H qui pourront être déterminés; deux d'entre eux viennent d'être trouvés, savoir :
Des équations (63), (68) on lire
;j.f H- 'y- — 2vf = o,p2(2p,., -f-pi;).
par conséquent
(79) ^= — 7(A2 — 2B2) + 2(2T2pri4-T2pp).
Prenant ensuite les deux combinaisons suivantes
p(5p't'i ^2VipV) = (pt^ — pt'Od^f — 1^2;,
on en conclut
