CHAPITRE I. — FORMILES ELLIPTIQUES POUR LA ROTATION DES CORPS. IJ
lion bien définis, cl nous le supposerons toujours, en prcnauL pour positifs les sens habituels de x vers y, de y vers z^ de z vers X, de a vers 6, etc. Efiectivemenl il est impossible de préciser le sens pris pour positif sur l'intersection de deux plans coordonnés. Toutefois, neuf de ces angles peuvent être précisés (à des circonférences près) si Ton a précisé les neuf autres. Il suffit de convenir que le sens positif de l'intersection de deux plans, par exemple ah et xy^ est pris de la même manière pour compter les angles de cette intersection avec a et avec x.
On peut dénoter ces dix-huit angles ainsi (c:;, a), (c:;, x), . . . , la notation cz indiquant qu'il s'agit de l'intersection des plans perpendiculaires à c et à :;, c'est-à-dire ah et xy^ et la dernière lettre a ou x indiquant Taxe à partir duquel est compté cet angle.
11 est très aisé de démontrer les formules suivantes relatives à ces angles
cosa^±iCos6^ ., , . COSC37 dr i coscr
(33) e=''f-.'ï' = — i . , e-''cc,a:)^— jç ^ ^.
^ ' sine- sine;;
Dans ces formules, toutes les conventions précédentes sont observées, et l'arbitraire qui subsiste dans le signe de sine:; correspond à rindétermination des deux angles. Pour avoir les seize autres formules, il faut avoir soin, sans changer s, de permuter circulairement «, 6, c ou x, r, z.
A l'égard des angles doubles, l'indétermination n'est plus que de circonférences entières, comme il apparaît dans les formules
QO'T'az ^- ico'^bz „., , co!;c:r -i- i coscr
cosac — ico9>bz coscr — ico%cy
Les formules (i), où Taxe z est mis à part, ne font apparaître d'expression simple que pour les angles formés par l'intersection du plan xy et des autres plans; ces angles sont au nombre de six. Trois d'entre eux sont immédiatement donnés par les foi'mules (i)
(3j) e2('ac,x)— G2 1l^.c-W — Q^^ ,
a'(a — i^-i- wa) :fa.{"' — v)
avec deux analogues obtenues par le changement de a en h ou c. Les trois autres n'apparaissent pas d'abord; mais nous allons les
l6 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
trouver, et ce sont les formules de la composition des trièdres qui les fourniront.
Dans les formules (i), supposons u -~- co^, r = (o^, G = e~"i«"?. Elles donnent
cosa- = o, cosCT^ =h i coso^ = I.
L'axe a coïncide avec l'axe x. Prenons maintenant les formules relatives à l'axe b, changeant, pour cela, a en |3 dans les formules (i); nous avons alors, d'après (i4)?
cos bz = o, cos b.r -~- icosby = eO?*^* Oa",? — it.
L'axe b coïncide avec l'axe jy ou avec son opposé en sens, suivant le signe de £ = = i . Il en résulte que l'axe c coïncide avec l'axe z.
Ces suppositions, que nous venons de faire pour m, v, G, faisons-les maintenant pour «,, ^^,, Gi, et employons les formules (26, 2j) en y supprimant l'indice zéro. Nous aurons
cos az -~ iz COS oz = — — - — — -I I
iz cos bz =
U jV -7 (M-
Wgrz if ± p
formules où l'on pourra permuter a, ^, c entre eux et, en même temps, a, [3, v. On en déduira trois angles d'Euler par des formules telles que celle-ci
( 36 ) e2/(c;, a) ^ e-2r„w3 TT . i
Si l'on avait fait la supposition des valeurs particulières sur u^, Vq, Gq et supprimé l'indice i, on aurait trouvé de nouvelles formes pour cos ex rz icoscy et les similaires. Ces formes nouvelles se ramènent immédiatement aux formes initiales (i) parla formule de duplication de l'argument dans la fonction a" (t. I, p. 197). Quant à la forme nouvelle de cosc:; à déduire de (3o). elle présente de l'intérêt en ce qu'il y figure seulement des fonctions p ; mais nous ne voulons pas y insister.
CIIAPITnE I. — FORMILES ELLIPTIQUES POUR LA ROTATION DES COUPS. 11
Expression du produit cosazcosbzco^cz.
Si l'on prend cos«c et ses semblables sous la forme (j), pour les multiplier entre eux, les arguments a et v n'apparaissent plus que par les fonctions p', comme il résulte d'une formule démontrée au Tome I (p. 196),
(37 ) cos«^ cosbz COSCZ — J UxU,j Uy p' U p\'.
La quantité U| reste inaltérée en valeur absolue, mais peut changer de signe, quand on modifie toa par l'addition d'une période. Si l'on prenait, pour les trois demi-périodes, oj, to', co", le produit des trois quantités U^ serait
{ei— e2){eî— 63) {e-j— ei)
On peut démontrer sans difficulté qu'on a, d'une manière générale,
(38) uauau?
(ca — ep)(e,^ — ey)(ey — fia)
t étant la même quantité — i, qui est déjà intervenue (i5). Mais, sans faire de démonstration directe, nous pouvons l'établir indirectement par la conséquence qui nous importe ici et qui est relative à la formule (Sy). Cette formule deviendra
(39) {e.j,— eo){eQ — e^^)(ey~ eoi) cos az cosbz cas cz = — —.p'up'v;
il y reste seulement jusqu'ici une incertitude sur le signe du second membre, puisque la formule (38) n'est pas établie. Pour faire disparaître cette incertitude, supposons
Ainsi qu'on l'a déjà vu au paragraphe précédent, si 11' et v' étaient nuls, cosrt^ et cosbz seraient nuls, et cosc; serait l'unité. En supposant donc a' et / infiniment petits, on aura, pour la partie prin- II. 2
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cipalc du produit des trois cosinus, celle du produit cosa:; cos6;:- Les parties principales sont les suivantes :
a'Uùo — Wa) cosa;: = ■ — e "^ -^v,
La partie principale du premier membre (89) est donc iz(eai—e^y-{e^ — e^){e^ — 6^)11' v' ;
celle du second membre est
Or on a
/dp'-u\ „
\ " P " / «=Wa ''^
En conséquence,
— 7^-P"waP"c«ip = i£(<?a— ep)2(ep — ey)(ey — Ca),
et l'on voit que les parties principales sont les mêmes dans l'un et l'autre membre de l'égalité (Sg).
Expression des cosinus sous forme explicitement réelle.
Pour l'analyse générale, la forme (i) de l'expression des cosinus est la meilleure à cause de la symétrie. Mais, pour le calcul numérique, cette symétrie doit disparaître; il y a, en effet, une demipériode dont le rôle est jjarticulier, celle qui est une imaginaire proprement dite.
Les arguments u et v ont, pour parties constantes, à des périodes près, les demi-périodes w et w', l'une réelle, l'autre purement imaginaire. Pour préciser entièrement, nous supposerons que w'
