P'^l -^ B-3p'r = (-2pj,j -^pt,) J I^ lii V

( BT3p'..-^':3pV = 2(T^p.--:^p.,)(^,^--;j!j^^,

équation dont la première donne jr> puis la seconde 7 •

CHAI'. I\. — Mttl VI-MKNT 1)1 .\ rOIU'S SOI.IDi: DANS IN I.IOIIDI: INI)f;i-INI. I 85

Ainsi, ilcjà suiil (IrlcnniiK-s sans amlji^uïlé les rapj)orls de \ //?, // , . .s\ — à 0 cl coliii (le ///, à 0--

Considc-roiis inainlciianl les deux ex|)oncnlielles Go cL G, (jui achèvent de caraclériser les niouvemenls composanls. Elles ont, comme on sait (11, (i), les expressions siiivanles

Gn = /..)<? '^" > G', = kxc

• II, y

où /•„, /.■, sont des constantes arl)ilrair(>s, (pii n'ont à jouer aiieiin rôle. En mettant, pour //„ cL //, leurs expressions ( -5) — a et u -\- K- , on voit que le coefficient de ii , dans l'exponentielle G(,, est

-' H rru= ~ —II —

iî — ■ -H ^ Tu = ~ ( —lt-r-\--.lV^)) ,

tandis que, dans l'exponentielle G', , ce coelTicient est c'est ce qui résulte de l'égalité (11, 4^)

D'autre part, d'après (75) et suivant l'expression (48) Je D,, ce coefficient, dans Go, doit être

- (ï + •- D,) = - ^ j 1 - 3 [:« + r^ + r^ia + r) ~w> + ^)\ \ ;

tandis (jue, d'après (76) et suivant l'expression (37) de D, le coefficient analogue, dans G,, doit avoir pour expression

Nous avons donc les deux ('(pialions suivantes : . h.

__(^a + rA-4-^(a-4-e)+Ç(/-' - ^) -+-v.:;t'«)i.

iSO DEUXIÈME PAmiK. — APPLICATIONS.

D'après (70), les argumenls a^ b -\- v et k\ ont zéro pour somme, et aussi les arguments b, a-\-v, Tq. Par le théorème d'addilion des lonctions Ç(t. 1, p. i38), on a donc, suivant (<)-),

■'- JH«-^- »■} — J"!* ? \

Nous avons,

par conséquent,

Y I sv ^ /i„

De même, en considérant ^, — a, c,, dont la somme est nulle, et // 4- t', — {a ->r v), p,, dont la somme est nulle également (70), on a

La quantité purement imaginaire x, qui se trouve ainsi déterminée, n'est nullement liée au mouvement résultant, mais elle va

servir à déterminer ^' C'est en prenant enfin les expressions (77)

des constantes ^I, N, dernières données du problème, que nous achevons la solution. Nous aurons, eu effet, d'après les équations (7(S),

NA — MB

iO A Nous concluons de là d'abord, fi devant être écal à

constante M doit cire prise égale à

(83) M=LaB-

MAP. IV. — MOI VKIIENT I)'l N COUPS SOLIDE DANS l.N LIQI IDn I.NDÉKIM. I 87

En second lieu, prenant JN = o, nous avons (80 LZLii^3-ll]^'^,

A quoi il faut joindre

Par les égalilés (8i, 84) sont dûLerniinées les conslanles purement imaginaires y, j en fonction des données et de la constante purement imaginaire t:- Cette dernière est fournie par régalilé (80). Les cincj constantes trouvées en premier lieu et ces deux dernières t» â' constituent le svstème de sept constantes, relatives à la rotation, que l'on a prévu plus haut (p. ib'p).

Détermination des mouvements composants au moyen du mouvement composé.

Des égalités (II, 7), appliquées successivement aux deux inou-

ments à la Pc

:, puis - par ^

vements à la Poinsot, on conclut, en remplaçant — ? — par — t il

-^^ rpv,- p.p..) =-ô47^- Ecrivons ces égalités sous la forme suivante :

et observons que les trois quantités p-(Ca — J^^) sont racines de l'équation

■i(X-+-?-p^')'— ?*o2(X4-p2pe) — pfi^^^-s^o, c'est-à-dire

l88 DEUXIÈME l'ARTIK. — APPLinATIONS.

On a calculé plus haut (63, 6'^a) les coerficients de celte équation, en sorte que l'on a immédialemenl l'équation résolvante

4 X' -I- U ( 7. V f -+- [J.- -+- ;jl] — s- ) X -

-^ 7(-i vf -4- ;jl2-1- [J^Ï — S-)2— (vf— ,j.2)(v2 ,j.|).ç2(v -H v,)2 X

-^ 7 [ "' 1 ( I-^î — M- ) — ■'<-{ '' -r- Vi )Y ^ O.

Hcmplaranl p-(pro — j)i') et p'.p'ro par leurs expressions (68) dans l'égalité (86) et posant, pour abréger,

nous concluons la détermination du mouvement composant JNIq, i;omnie il suit.

Soient Xa, Xp, Xy les racines de l'équation résolvante, on aura

y fil ff» , ^- y . /'n ^n ^- ■- /< » '^n

' -^a^-çu' 7 — =(-^«-^;o) -, =(-^y-^;o) -,

;'i quoi il faut joindre l'égalité (Si)

Par un calcul tout pareil et en prenant

ci = Vf — -s-, on détermine le mouvement composant M', an moyen des égalités

l'>n outre, la concordance des deux mouvements Mo, M', comporte

Cim». I\. - MOLVKMEM I)'(N CORPS SOLIDK DANS IN LIQUIDE INDÉFINI. 1 8()

la délerminalion des constantes A, li, T-j)t', T'jVt^ (II, ;j6); voici leurs expressions (78, 63) :

x^-pv =

•.'VJ -f- [JI--T- u'ï — s-

l'^ndn, la coiislanle M du troisième Diouvement est donnée par régalitc (83)

Sa avi i

iO

.vO

Cas où le corps solide est de révolution.

Quand le corps solide est homogène et de révolution et dans d'aulres cas encore ('), l'expression de la force vive peut être mise sous la forme simple de la somme des carrés U-, V-, W-, P-, Q-, R- avec les mêmes coefficients pour U^ et V-, ainsi que pour P- et Q-. Quand il en est ainsi, les rectangles disparaissent dans l'expression (7) de la force vive avec les variables jf,, ..., }'i, — Les coefficients y, 7' :^onl nuls, et, par conséqueni, la conslanle /< = |v, (i^) est nulle ainsi que ,0, ce qui fait disparaître la rotation variée autour de l'axe Z,. Ainsi, dans le cas où le corps s(dide esl de r('volulion, sa rotation est la résullanle <le deux mouvements à la Poinsol.

Sur une propriété du mouvement relative à l'herpolliodie.

Reprenons l'expression (00) de cosCX-f- /cosCY cl décom|iosons-la en éléments simples. L'élément simple est

et Ion a

(') Voif Ivinciiiioi r, l'orlcsii/igen iiùcr Diatlteniadsche Pliysih, p. l'i'l.

190 DEUXIÈMi; l'.ViniK. — APIM.IOATIONS.

D'après les égaillés (75), 011 peut écrire /(//) sous la forme