CHAPITRE V. — COURBE ÉLASTIQUE PLANE SOUS PRESSION NORMALE. 1 gS

.a portion de la courbe en deçà du point A et la portion (jui est au delà de ce point.

La portion qui est au delà du j)oint A exerce, sur la portion qui est en deçà, des réactions élastiques. Ces réactions ont |)Our résultantes : ï° une force F appliquée en A; 2° un couple M. D'après la théorie de l'élasticité, voici l'expression du couple M, noniuK'couple de Jlexion ou moment fléchissanl :

(!) M = El(i-

Les lettres E, 1 désij,^nent deux constantes positives, le coefficient d'élasticité de la substance et le moment d'inertie de la section droite autour de la normale au plan, menée en A; 0 est le rayon de courbure actuel, 0' le rayon de courbure primitif.

Dans l'expression (1), le signe de p est arbitraire^ mais 0' doit être pris avec un signe déterminé, le même que celui de 0 ou le signe opposé, suivant que le sens primitif de la courbure est conservé ou renversé.

Toutefois, le signe de p est déterminé si l'on a choisi le sens positif des moments. Il est naturel de choisir, à l'égard des moments, le même sens positif que pour les rotations dans le ])lan de la figure. Supposons qu'il en soit ainsi.

Sur la courbe, nous avons déjà choisi un sens pour la décrire. Si nous confondons la courbe au point A avec son cercle osculateur, le sens dans lequel on la décrit correspond, sur ce cercle, à une rotation positive ou négative, dont le signe est bien déterminé.

Ce dernier signe est justement celui qu'il faut attribuer à p dans l'expression (i), d'après les conventions qui viennent d'èlie posées.

En deçà du point A, considérons un point x\o assez voisin [)Our que la courbure de l'arc AqA soit partout de même sens. La portion de la verge au delà de Aq exerce des réactions avant des résultantes Fq, Mo analogues à F et M. Par conséquent, la portion en deçà exerce des réactions ayant pour résultantes — \\ et — Mo- Si l'on envisage l'arc A^A comme un solide, ce solide doit être en équilibre sous l'action de F, AI, — Fq? — ^^0 c' <^'^' la pression.

ig4 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

Une pression normale à un arc de courbe et répartie uniformément sur la lon^î^ucur de cet arc donne lieu à des composantes et à des moments qui ne dépendent pas de la forme de cet arc, mais seulement des extrémités. Menons en Aq et en A les perpendiculaires à F et Foi soit O leur point de rencontre. Substituons le contour AoOA à l'arc Aq A; soient /'o, /' les rayons OAo et OA. On peut remplacer la pression sur l'arc par les deux pressions pf'o^ P'' perpendiculaires sur les deux rayons en leurs milieux. Les sens de ces pressions sont d'ailleurs déterminés sans ambiguïté, comme on voit en déformant le contour. Il suffit qu'on sache de quel coté s'exerce la pression sur Tare. On peut préciser d'une manière générale en observant que la pression pr et la pression sur l'arc ont, par rapport au point A, des moments de même signe.

Les deux pressions /)/'o, ff doivent ensemble faire équilibre à

— Fo et F, qui leur sont respectivement parallèles. On en conclut que F est égale à pr et dirigée en sens opposé. De même pour

— Fo el p/'o.

Les forces F et pr forment un couple. Le moment de ce couple est ± ^pr-; il a le même signe que le moment de pr par rapport au point A, le même signe donc que le moment de la pression sur l'arc AqA par rapport à ce même point A. Manifestement, ce signe résulte, à la fois, du sens de rotation sur la courbe en A et du sens de la pression; c'est le signe plus, si le sens de rotation est positif et si la pression est du côté de la concavité. Ainsi le couple (/?/', F) et le couple M ont le même signe quand la pression est du côté de la concavité, le signe opposé dans le cas contraire.

Les quatre couples M, —Mo, {pr, F), {pro, — Fq) doivent se faire équilibre-, donc

.M — Mo -sz \(pri-~ prl) = o.

En posant

on conclut l'égalité