CHAPITRE V. — COL'RBE ÉLASTIQUE PLANE SOIS PRESSION NORMALE. igS
dans laquelle A est. une conslanle positive, B une constante de signe quelconque, et dans laquelle aussi le rayon de courbure o est positif ou négatif suivant que la pression est du côté de la convexité ou de la concavité.
Le point O, origine des rayons vecteurs /•, a été nommé par M. Maurice Lévy centre des forces élastiques.
Le cas où la pression normale n'existe point n'échappe jias à celte analyse. Les forces F et — Fq doivent se faire équilibre; elles sont égales et de sens opposé. La force élastique F est donc partout constante de grandeur et de sens. Si l'on prend sa direction pour celle de l'axe des y, le moment du couple (F, — Fo) est alors proportionnel à la différence des abscisses de Aq et A. On conclut donc ([uc la courbure est une fonction linéaire de l'abscisse.
Intégration.
Dans l'identité
{a^-\-b"^){ah"— bal')
— {a' a -^ b' b"){ab' — ba) = ( aa' -\- bb'){a'b" — b' a"),
[)renons
/ , d.r ,, flv „ d-x ,,, d-v
a = X, b—y^ a = -j- , fj—-^, a = -r— , b = —r^, as an as- ds-
X e\ y désignant les coordonnées d'un point de la courbe et s l'arc correspondant; il vient
d''-Y d'^x ( dr
ds^ -^ ds^ \ ds
dy\ 1 dx d'^y dy d'^x\ •^Hs) \ds 'ds^ ~ ds 'cïs^ )
ou
bien
. / dy dx
,. dx d^v dv d^x \ ds "^ ds ,
ds ds^ ds ds- d(r^)
Le premier monbre représente, comme on sait, la courbure. Son signe, d'après celle expression (4), est le même que celui de la rotation sur la courbe, au point (.r, )'), quand on suppose celle courbe décrite dans le sens où s est croissant. Kn clioisissanl donc
\CjO DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
ce sens, on peut prendre l'expression (4) pour celle de la courbure telle que la formule (3) l'exige. Il en résulte
d'où, par intégration,
On a d'ailleurs
dy dxy , I /dr^Y
il en résulte
t. ds ds / 4 V ds
La dérivée de /'- par rapport à s étant ainsi la racine carrée d'un polynôme du quatrième degré en r-, nous concluons que /•- est une fonction elliptique de l'arc s.
En désignant par 0 l'angle polaire, on a, d'après (5),
^''' ds ~ r' '
puis, à l'égard des quantités
xzh ly = re
(8 ) d log (x ±z iy) = rz i dd.
\-in désignant par ), l'angle de la normale et du rayon vecteur, on peut représenter la quantité (5) par /-cosA, en sorte qu'on a aussi
( rcosÀ = Ar* -1- B/-- -^ G,
Inversion.
La forme du polynôme du quatrième degré (6), comparée à celle du polvnôme \ (t. I, p. i i8) qui a servi de type pour l'inversion, conduit à faire l'inversion comme il suit :
CIlAriTRE V. — COURBE ÉLASTIQUE TLANE SOUS PRESSION NORMALE. I97
Soil (en employant la lettre :;, au lieu de j' comme au tome 1, p. m8)
(.0) .^IPl^LZjil;
2 j) U — pv
désignons par a une longueur constante et positive et posons (t. I, p. 1 18, éq. /[S a et 0)
(II) /-î = :iH,pv — pu)lpv — p(u^v)] = -{p"i> — 9.zp'v),
3t OC
( 1 9. ) A /•* -^ B r- -+- C = - ( -"^ — 3pv) = ' [p( n -h V) -^ pu — 2 p v ] .
VouT déterminer par là A, B, C en fonction des quantités elliptiques équivalentes, on tirera z de l'équalion (ii), on substituera dans l'équation (ip.) et l'on identifiera les deux polynômes en /-. Il vient ainsi
„3) A = ^^,, B=-^:^, C = l\(^:f-Zp,].
Celte expression de C est à remarquer ; on y retrouve la fonction caractéristique de la multiplication par 3 ( t. I, p. cj5, 96,
D'après les égalités (i i, i'>.) et conformément à ce qui a été dit au lome I*^' (p. i 18, 120), on a maintenant
r^.-(\r* - Br2 h- Cf- ^- - -, [p(« - O - pu]^ ^ - j (^^^^{)
Donc, suivant (6), / CN ids ,
(.5) TTu^''^''
198 DEUXlÈMi; PARTIE. — APPLICATIONS.
De l'égalilé (7) nous concluons
^0 p' V p(?/ -4- r) -T- ,p« — apc
, du ■j.i{pii — pi')[p(i(-^i-) — pv] (16)
L'égalité (8) donne ensuite
■^Ipu — pv p{u^v) — pv j
du
et, d'après la formule d'addition pour les fonctions ^ (t. 1, p. i38)
— log(r-(- if) = -iti' -+- l( a — v) — liu- -^ ^'), -7- Iog(a-— iy) = — iX.y ^ X,{u -\- iv) — 'C,u.
D'où, par intégration, en désignant par E une constante arbitraire complexe, dont la forme se précisera plus loin,
a E -ii u — t' ) „ y
a :;'(?/ -^ 9.0 „ - X — iy= r; e-^Wi".
égalités conformes à l'expression (11) de /■- ; car elles donnent (t. I, p. 171)
^':i{u — K') -Hu^ v) -ii u -^ %v)-iu.
= ^-{pv — pu)[pv — p{u-^v)].
On en conclut
08) e-0=£:z:i^ = E-^ ^u^iu-v)
X ly O'^ît -1- (') 3'(M -1- 2f )
Les formules (9) donnent les suivantes : /•e'A ='x{pu — pv)
( re-"- = a[p(K-i- ç^) — pv\
Pour l'expression du rayon de courbure, nous tirons des égalités (12, 1 1)
ar'^ ^P V
