CHAPITRE V, — COURBE ÉLASTIQUE PLANE SOUS PRESSION NORMALE. I
D'où, .suivant (3),
Nature des arguments.
Le discriminant A des fonctions elliptiques peut ici être positif OU négatif. S'il est négatif, on sait que l'argument c est réel (t. I, p. 122). Si le discriminant est positif, le polynôme du quatrième degré (6) a ses racines ou toutes réelles, ou toutes imaginaires. Mais le dernier cas est impossible, car ce polynôme serait alors toujours négatif, tandis qu'au contraire r'^ doit prendre seulement des valeurs qui rendent ce polynôme positif. Si donc le déterminant est positif, les quatre racines sont réelles, et ç est encore un argument réel (t. I, p. 128). Ainsi ç, dans tous les cas, est un argument réel.
Si le discriminant est négatif, u -{- - doit être purement imaginaire (t. I, p. i3o). Si le discriminant esl positif, i( -h - ou bien u -^ ^ to est purement imaginaire (ibicL). Ces deux formes
ne sont distinctes que si on limite v dans l'étendue de la période réelle. On peut les réunir, en limitant c dans l'étendue d'une double période, et poser, t étant une variable réelle,
(21) u = h- it.
Les deux quantités u et — («+ v) sont conjuguées, en sorte
qu'on voit bien apparaître la réalité de r (1 i). La quantité - est la
valeur absolue (module) de pv — pu. On voit aussi que la constante E (i'^) doit avoir la forme e*'^"+'?, o étant un angle réel, en orte que les formules (17) deviennent
22 ) x±ziy = 'X e*'? e-^'*^".
<:f^ç(ï(^-±it\
L'angle arbitraire cp se rapporte au choix de la direction des axes. La liaison entre la variable t et l'arc s est donnée par l'égalité (i5), qui devient
Soit ftio' la période purement imaginaire. En faisant varier t depuis zéro jus(|u"à -—■> on obtient une portion de courbe, qui se répèle ensuite pour les autres valeurs de t ; car /- est nue Ibnction périodique.
On peut aussi, pour simplifier la discussion, restreindre le champ de l'argument r. Le changement de u, t, v en — ?/, — ^, — r n'altère pas l'expression de /•-, il n'altère pas non pkis les formules (-.ii) et (aS). Ainsi le champ de l'argument v, au lieu d'une double période, peut être pris égal à une période seulement, de zéro à -im. Au cas du discriminant négatif, on peut le restreindre davantage. La denii-j)ériode réelle étant 0J2 et la demipériode purement imaginaire o)'^, on sait (t. I, p. ^4) que t02 ^ ^2 est une période. Si l'on change donc u et i' en — u et 2Wo — c, la formule (21) devient
11 = 0)^ i/ ss 1{ tz^ — 1 ;
elle reste inaltérée si l'on change en même temps la variable réelle t' en — ( / ±: ^ j qui est réelle aussi. Ainsi, pour le cas A <^ o, on pourra restreindre le champ de v entre zéro et too-
Rayons maxima et minima ; axes de symétrie.
Aux valeurs de î, multiples de -^5 répondent les racines du po-
Ivnôme (6) 1 1. I, p. 121) et, par suite, les maxima et minima de /•-. C'est ce qu'on voit en prenant la dérivée de /-. Pour distinguer les maxima des minima, prenons aussi la dérivée seconde :
d( r^) ^ , dz „ , r / ^ T
ClIAIMinE V. — COI RltE l-LASTKJl !•: l'I.ANE SOIS l'IlESSION NORMALE.
A cause (le IV'^aliu- a = h il, il on rc'sultc
!a2j)'cj)'-,
•>.a^ji i'p [ - -:- w
I^os doux qiiaiililrs ))' - cl |)' ( — h to'j, doiil les aryuinciUs dilTr-
rent d'une demi-période, sont toujours de signes opposés. En conséquence, les maxima et les minima du rayon vecteur sont alternés.
Soit w la demi-période réelle. La première quantité (ai) e^l positive ou négative, suivant que le nombre impair immédiatement
inférieur à — est de la forme An -^ i ou de la forme an — i . w
Quand le discriminant est négatif, nous avons restreint le champ de r entre zéro et w^. D'après cette convcnlion, pour A << o, le maximum correspond à t = o.
Pour les discriminants positifs, il nous faut étendre le champ de V entre zéro et^ato. Par cette convention, pour A >> o, il y a deux cas à distinguer : r étant entre zéro et co, à / = o correspond le maximum ; c'est, au contraire, le minimum si c est entre w et 2 w.
Si l'on prend, pour t, deux valeurs symétriquement placées par
rapport à un multiple de A-> /- prend une seule et même valeur.
Chaque rayon vecteur maximum ou minimum est donc un axe de symétrie.
Points d'inflexion.
Dans l'expression (•-'.o) de la courbure, le dénominateur n'est jamais nul ni infini, sauf un cas particulier dont nous parlerons plus loin. C'est uniquement de l'évanouissement du numérateur (p' li — p'i') que dépend l'existence des points d'inflexion.
L'étude des racines de léquation p'u:=p'v a été faite au tome I (p. iio-ii3); elle conduit à distinguer les cas suivants :
l" DiSCUIMIJiANT IS'KGATIF.
202 DEUXIÈME PAUTIE — APPLICATIONS.
// n'y a pas d'injlexion. En efTet, l'équation p'uz=p'v a ses racines réelles; elle n'a pas de racine de la forme (21).
B. Dans loul autre cas, le discriminanl étant négatif, ;7 )■ a une inflexion entre deux rayons consécutifs , l'un maximum , Vautre minimum. L'équation admet, en eflfet, une racine réelle, qui est r, et deux autres (à des périodes près) de la forme
- '- ± it.
ISCniMIiVA\T POSITIF.
Il ny a pas d' inflexion. Car l'équation, outre la racine r, en admet deux autres dont la partie imaginaire est une demi-période
et dont la partie réelle n'est pas
D. jy^r>
Il y a une inflexion entre deux rayons consécutifs, l'un 'maximum, Vautre minimum. Car l'équation admet, outre la racine r,
deux racines imaginaires avant la forme ± it.
Nous allons encore trouver une confirmation de ces résultats
en considérant les signes de la courbure pour « = et
// = — 7+ w'. Prenons, à cet effet, les deux quantités
La première, Ço? est toujours positive. Effectivement, elle ne saurait être négative que dans un cas, celui où la fonction p" a deux racines réelles. Ces racines existent dans le seul cas A -< o, i>"2 > o, ^3!> o (t. I, p. 107-109); on en trouve deux, Co, i'i, dans l'intervalle (^ 0)2, Wo),
Les arguments réels pour lesquels la fonction p est égale à
CIIAPITHE V. - COLRBE ÉLASTIQLE PLANE SOLS PRESSION NORMALE. 2o3
pi'o OU à jjr, se succèdent ainsi par ordre de grandeur :
