iiOi—vo, — aw^-Hf,, — vi, — 1;„ co

I "2102 i'i. "iWj — l'o, -2102-1- t'o, 2W2-f- ^'l, ....

Au-dessous de cliaquc intervalle est /iguré le signe de la fonction p".

Nous avons restreint le champ de c, pour le cas A •< o, entre

zéro et to.. Celui de - est donc limité entre zéro et ^w-., où l;i

fonction p" est positive. Ainsi, comme on la annoncé, ;o est toujours une quantité positive.

Envisageons maintenant ;,. Soit d'abord A ■< o. La demi-période purement imaginaire m'., ne diffère de la demi-période réelle luo que par une période. La quantité Çi peut donc, ainsi que Ço^ être considérée comme étant la valeur de jj' pour un argument

réel — h i.o-2- Donc, en premier lieu, si p" n'a pas de racine réelle,

c'est-à-dire si Ion n'a pas i,'o>o, ^"a^o, ii est positive comme ^0- Dans le cas opposé, 'ij |)eul être une quantité négative. Le

champ de — h Wj s'étend de to-, à i^Wo- Il comprend, parmi les intervalles (aj), celui-ci, (■ito-, — i"i, aco^ — t'o), où j^" est négatif. On aura donc Çi << o au cas

2 co j t'i < i- W2 < •'. Wo l'o ,

c'est-à-dire

2 t02 — 2 l'i < r < 2/02 — 2 f oi

D'après les résultats établis au tome I (p. 107), cette double inégalité est précisément celle que nous avons supposée pour distinguer le cas A. Ainsi, dans les cas ci-dessus, on a

Soit maintenant A > o. La fonction p" a une racine r, de la forme a 4- lo', où a est réel, et ç, est négatif si j) ( co'j est

supérieur à J)r,. D'après la formule d'addition de la demi-période, on a

iVùh résulle que ;, est négatif si p - est inférieur à pa. L'argument a est compris entre zéro et ^ (o (t. I, p. 108). Dans le champ (o, ti)), où est restreint -, ce sont les arguments supérieurs à a

pour lesquels la fonction p est inférieure à pa. Ainsi, ç, sera négatif si V est supérieur à 2Cf, négatif dans le cas opposé.

La supposition r> 2a entraîne celle-ci p'-v < jy-2«; elle coïncide (t. I, p. 108) avec celle qui distingue le cas C. Nous avons donc, pour les cas ci-dessus,

La distinction de ces quatre cas, au lieu d'être faite comme plus haut, au moyen de p'-v., peut, nous venons de le voir, être faite plus simplement au moyen de pv ou de c, comme il suit :

/ A. ffi> o, ,^3< o, -X

A . ff-i > o, ,^3 < O, ■;•, C02 — 2 l'i < t" < 2 0J2 — 2 Po ; A < o. <

B. Tous les autres cas.

G. v>xa; pp<^£L^.

En un mot, dans tous les cas, la condition nécessaire et suffisante pour qu'il n'y ait pas d'inflexion, c'est

CHAriTRE Y. — COL'RBE ÉLASTIQUE PLANE SOLS l'IlESSION NOIUIALE. 20.">

Nous venons de reconnaître que la distinction des divers cas, relativement au signe de ç,, est la même que relativement à l'existence des points d'inflexion. En voici la raison. On a (t. I, p. lojj

D'après l'expression (20) de la courbure, il en résulte

Tour a —

■^ pu

Four ;/ = (•> — = , p ( to | .

ri apvp / - — 10 j

Les dénominateurs de — et — sont de signes opposés, comme Po Pi on-)

on Ta déjà observé à l'occasion des expressions (24). U s'ensuit

donc que les deux courbures sont de même signe ou de signes

opposés, suivant que Ço et ^i sont de signes opposés ou de même

signe. C'est donc une confirmation des résultats déjà obtenus.

On doit noter que Cq est positif dans tous les cas, sauf un seul,

celui où, A étant positif, v est compris entre o) et 20J. Ce cas doit

être classé dans la catégorie C, car '2 a est moindre que oj. Il v

aura lieu de distinguer ce cas, et nous partagerons la catégorie C

en deux autres, C|, C^; de sorte (jue nous distinguerons cinq cas

différents :

^ A. ffz>o, ,i'3<0, 20J2 — ■2ri<r<2co2 — 2(^0; Po>o, pi>o. I B. Dans tous les autres cas; po>o, pi ^o.

Gi.2a<v<aj; Po>o, pi>o.

o. 1 C-i- w<f <2w; Po<o, pi<o.

(D p<2a; po>o, pi<o.

Sens de la pression normale.

Le signe plus de la courbure indique que la pression normale est du côté de la convexité. Donc, cla/is tous les cas, sauf le

cas Co, la pression est du côté de ta convexité aux sommets de rayons maxima. Dans le cas Co (où la convexité ne change jamais de sens), la pression est partout du côté de la concavité. Dans les cas B et D, où il se trouve des inflexions, la pression, aux sommets de rayons minima, est du côté de la concavité.

Sens de la convexité par rapport au centre des forces

élastiques.

QueliC que soit la convention choisie pour fixer le signe de la courbure, pourvu, bien entendu, que ce signe change au passage par une inflexion, le sens de la convexité par rapport à l'origine

dépend du signe aff'ectanl la ([uantité p -y-

Examinons le signe de -^ aux sommets. D'après (7) et ( 12), ce signe coïncide, pour «= ? avec celui de p pv ; pour

1/, avec celui de .p ( 7 + w' ) — pv- L'argument - est, en tous les cas, compris entre zéro et (j> ; l'ax*-

gumenti^ est aussi dans cet intervalle, sauf le casCo. Les grandeurs relatives des fonctions p sont donc, pour ces deux arguments, en ordre inverse de celui des arguments, sauf le cas Co où il faut

comparer - à 110 — v. Par conséquent , dans tous les cas, sauf C2, on a 1 -T- 1 > o ; dans le cas L.2 on a ( -7- 1 > o , si f -< - oj , et

Au cas du discriminant positif, JJ ( 7 -i- ^'j' ) est entre e-^ etCo,

tandis que pv est supérieur a (?) ; ( -7- ) est négatif.

Au cas du discriminant négatif, on a p / — h co., j r= p | - 4- too 1 -,

et il faut comparer entre eux les arguments r, awo — ( 7 + ^'^2 ) '

par conséquent, (-7-) est positif ou négatif en même temps

CHAIMTIIE V. — COURBE ÉLASTIQUE rLANE SOUS PRESSION NCJUMAI.K. 207

La concavité est toujours louniée vers l'ori^nnc en un pitinl où le rayon vecteur est maximum; lu concavité, au\ points où le ravon est minimum, est tournée vers l'origine ou en sens oppose

suivant que (-7-?) cl [rp) sont de même signe ou de signes

opposés.

Dans tous les cas, sauf Co , p„ et ( ^ j sont positifs cl, en même

temps, le rayon vecteur est maximum pour ^ = o. Donc, en ces divers cas, la concavité est tournée vers l'origine ou en sens op-

/df) \ pose, aux sommets de rajons minima, suivant (pie l 7^ P ) est

positif ou négatif.

Dans le cas C, le ravon vecteur maximum correspond à / = -^;

0, est négatif ainsi rpie (-7-) • D'ailleurs, po est négatif. La concavité aux sommets de rayons minima est donc tournée vers l'origine si Ton a r > I w; elle est tournée dans le sens opposé si l'on a p <; I w.

L'attention se trouve ici attirée sur les cas où l'argument v atteint les valeurs particulières |co2(A<;o) ou |to(A^o). Ce sont les cas où la constante G est nulle, comme il résulte de l'expression (i4)

En ce cas, /■- peut atteindre la valeur zéro sans que -r devienne infini (-). Cette valeur, est atteinte en effet; car on a :

l'o— cl)2 =— 20J1 ; pu~-pv\

-aw; jiiL — pv.

D'après l'expression (i i) de /•- , on voit qu'cfl'ectivcmcnt le rayon vecteur minimum est zéro. La courbe passe à l'origine des coordonnées ou centre des forces élastiques.

On s'explique bien alors le changement du sens de la concavité par rapport à l'origine quand v s'altère un peu, de part et d'autre, de cette valeur particulière | ojj ou |co. La courbe se modifie fort

Pour çj = - (02. .

Pourr = J^o).. .

2o8 DEUXIÈME l'ARTIK. — AIM'LICATIONS.

1)011, mais l'origine se déplace, par rapport à cette courbe, en la traversant.

Ces cas où, comme on voil, pu — pi" devient nul, mais en même lemps aussi p' a — p'i", sont les seuls où le dénominateur de la courbure (20) puisse s'évanouir. Nous exceptons toutefois la supposition r = o, qui ne peut d'ailleurs être admise si ce n'est comme une limite, et que nous examinerons en étudiant plus attentivement la courbe.

Variation de l'angle polaire.

Il importe, pour le tracé de la courbe, de savoir si 0 varie toujours dans le même sens ou présente des maxima et des minima. Nous venons de reconnaître qu'aux deux extrémités d'un arc, cor-

respondant a a = et 11 = — -+ w , y a, suivant les cas, un

même signe ou des signes opposés.

La fonction (12)

dont le signe, avons-nous dit, coïncide avec celui de -^ 5 a, aux

périodes près, deux infinis doubles « -= o, 11^= — v. La somme de ses quatre racines doit reproduire — ■ 2<', ce qui est compatible

avec l'existence de deux couples de racines conjuguées — - ±: //.

C'est d'ailleurs aussi ce qu'on voit j)ar l'expression

de cette même fonction (à un facteur constant près). Il est clair que, suivant les valeurs des coefficients, ce trinôme peut avoir deux, une ou n'avoir aucune racine positive comprise entre le

maximum etle minimum de;-. Ainsi, sur 1 arc considère, -j- peut

s'évanouir ou deux fois, ou une seule fois, ou ne pas s'évanouir.

Les cas où nous avons trouvé des signes opposés pour (-7-) cl

sont ceux ou -r- s évanouit une seule lois. as

CIIAPITUK V. - COLllBi: ÉLASTIQUE I'LAM: SOLS PRESSION XlKMALE .UXJ

Dans les cas ou -- cl ,- ont tm inciiie si^jiic, il fiiiil dis-

■ dd ,, . ,

cerner si -^7 s évanouit deux lois ou ne s évanoui l pas. Dans ees

cas, pour que -j- s évanouisse deux lois, il laul cl il sullit que la

racine de la dérivée du trinôme (du second degré en /•-) rende ce trinôme négatif et soit comprise entre les limites de /-. D'après (12), cette racine correspond à -3 = 0, ce qui caractérise les points d'inllexion ; elle est donc dans les limites de r^ s'il y a inilexion ; en outre, elle rend le trinôme négatif si pv est positif.

Pour les discriminants positifs, le cas D est le seul où il y ait

inflexion. On a vu que (V) est alors négatif; quant à l'-j-) j il

est négatif sous la condition t' > | co. Mais celte condition est

incompatible avec la condition c < aa, caractéristique du cas D,

a étant intérieur a 77 w. Ainsi, pour 1 ^ o, — ne s évanouit la-

mais plus d'une fois entre deux rayons maxima et mininia consécutifs.

Si le discriminant est négatif et que ^^3 soit positif, pr, supérieur à Co, est toujours positif; car 62 et g^ ont un même signe (t. T, p. 70). Si gi est négatif, j)P peut être négatif. Ainsi le cas B peut

offrir des exemples où -j- s'évanouisse deux fols et d'autres où

'/O ,, . ^. ^ ... dO ,,

-j- ne s évanouisse pas. 01 g-^ est positil, [)our (jue -j- s évanouisse

deux fols, il faut et il suffit que l'on ail r >■ i; (.<)■>.

Si gi est négatif, ainsi que g.2, considérons la fonction '}:)(//) (t. I, p. 96)

•^3(«)= 3p^J<— |,^-2j>-« — 3^"-3j)«- ^ffj.

Elle n"a qu'une racine réelle pu qui corresponde à un argument réel; c'est jiftoo. Elle est négative pour j3« = (); donc jiijcoo est

positif. La condition v'^f^o)-, ne suffit donc pas pour que -7- s'évanouisse deux fois. Soit pb = <>, ù étant un argumenl réel qui est

compris entre Iwo et to^. Si l'on a |(o.. <^ *' <C ^> "T" s'évanouii deux. II. '' i',

fois; si l'on ar^ />, -j-, ne sévanoiiil pas. Enfin, si l'on a r <^i- (o^,

JO ,, . f .

-y- S évanouit une lois.

as

Si, avec^3<^o, on a on même temps g-i'^o, il faut d'abord

distinguer ce qui est relatif au cas A. Observons, à cet effet, que

I Wo est compi'is entre Tq et c, (t. I, p. 109), par conséquent aussi

entre aco^ — 9.Vi et ^w^ — 2to. De plus, on a (ibid.)

p(2C02 — 24-, ) = p2r, =4/ y, j>(2io.2 — ai-o^ = p2r„=r --i^ y.

Far conséquent, au cas gi<^^'>t g-^^o, on conclul que -7-

s'évanouit une fois ou ne s'évanouit pas, suivant que v est inférieur ou supérieur à | too

En effet, si r, supérieur à -3 lOo, est inférieur à acoo — aç'oj il n'y a pas d'inllexlon; si v est supérieur à awj — 2Ç'o> alors jjc est

inférieur à — l/^' donc négatif.

Angle compris entre deux rayons consécutifs, l'un maximum, l'autre minimum.

D'après la propriété que possède la courbe d'être symétrique par rapport à ses rayons maxima ou mini ma, soit 2<l l'angle compris entre deux rayons correspondant à des arguments qui diffèrent d'une période : à sera l'angle compris entre deux rayons

consécutifs, l'un maximum, l'autre minimum. Nous prendrons —r-

et zéro pour les valeurs de t qui correspondent aux deux rayons comprenant l'angle '2'1.

Comme x -\- iy n'est autre que re''\ la formule (av.) nous donne

Aux deux limites de l'intégration, ;• prend une seule et même valeur. L'intégrale est donc purement imaginaire et a pour va-

CIIAIMTKK V. — rornili: f:i,ASTIQLK plane sois PIIKSSION NORMAI.K. 2 1 I

leur Ai'l. On a donc

Nous avons ici deux inlégralcs complèlcs de la fonction "Ç; on a appris à les calculer dans le tome I (p. 200 — 201).

Soit d'abord A<; o, en sorte que to' doit être remplacé par to'.,.

Pour la première intégrale, la partie réelle - de l'argument est

comprise entre zéro et coo, et l'on a

Pour la seconde, la partie réelle est comprise soit entre — oj^

et zéro, soit entre — 200.2 et — Wj, et Ton a

.'0 'V ■■i / - V '^ 7 ({71. si r: jcoj:

par conséquent, (■27) 4>:=T— H>;ri^^ — rr/,)-+- l -' [ A<o.

r, SI i> > j too

Supposons maintenant un discriminant positif. Poui- la j)rt'mière intégrale, on a

l'our la seconde, l'argument réel — peut être compris entre

— >.i)) cl zéro ou bien entre — 4^ et — aw, en sorte qu'on a

si r -^ si i- ~

H en résulte

-1 , , ( O, si (' < ir W, )

* ( 71, SI l^> ;|W, )

Dans les deux formules (27), (28), le changement brusque de <];, au moment où t' traverse la valeur limite | Wo oi' |^i s'accorde parfaitement avec le changement qu'on a déjà, pour le même cas, observé (p. 207) dans le sens de la concavité par rapport à rorigine. Il est dii, non à une déformation notable de la courbe, mais à un déplacement de l'origine qui, très voisine du sommet, traverse la courbe quand v passe par la valeur limite. Au moment précis du passage, le rayon vecteur extrême, au lieu d'être normal, devient tangent. L'angle 'l doit donc être

(■-iy)

si P = |W2,

si f = ^ w,

Le calcul précédent ne donne point ces résultats ; il ne peut les donner, se trouvant en défaut pour ces cas : la seconde intégrale devient effectivement infinie, comme cela doit être, puisque la dernière valeur de /• est nulle. Pour trouver <^ par un calcul direct, il faudra joindre à l'égalité (26) sa conjuguée. La seconde intégrale sera remplacée alors par celle-ci

dont la partie réelle est bien effectivement 3tr/, p — 2TT ou '^iri'v — 2t:

(piand on suppose un des deux cas limites. Par exemple, pour A <;^ o et r = fcoo, cette intégrale devient (t. I, p. i5i)

2 17)2 IO2 — 2r.