CHAPITRE V. — COIRBE ÉLASTIQUE PLANE SOUS PRESSION NORMALE

La grandeur et surloul le signe de l'angle -l consliluent l'élément le plus important pour fixer la forme de la courbe. Examinons donc comment 6 varie avec v, et prenons d'abord le cas le plus simple, A > o.

La dérivée de 'l (28), par rapport à c, est -^ (w'jjr-f-Y/j. Si l'on

fait varier v de zéro à to, cette dérivée, dont la première valeur est -f-ac, est constamment décroissante comme pv. Sa dernière

valeur est -(e, 10'-:- r/).

Prenons l'une ou l'autre forme de développement en série (t. I, p.4o4et446)

Lcbangeons les périodes, et nous aurons r/w'-^ c, oj'- représenté par ces mêmes séries, oîi q aura changé d'acception, mais sera toujours réel et positif. Les séries ne contiennent que des termes négatifs; on en conclut donc

Ou volt donc que la dérivée de 'i est toujours positive quand \varie de zéro à oj. De oj à aw, elle repasse, comme p^'■, par les mêmes valeurs. La dérivée est donc constamment positive.

L'angle 'l est une fonction discontinue de v; sa partie continue est toujours croissante avec r, puisque la dérivée est positive; Ij partie discontinue est non décroissante. Donc •} est une fonction toujours croissante. Ses valeurs extrêmes, pour r = o et v = 2to, sont — X et ^- y.. Pour v = o), -l est nul à cause de la relation

T.(L)' — y/oj= — (t. I, p. iDo). On le voit donc, le discriminant

étant positif, -l est négatif quand c est moindre que oi, c'està-dire dans les cas Ci et D ; il est positif, au contraire, dans le cas Co.

En ce cas Co, p\' est positif; donc (23) s croît ou décroît

2l4 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

oiir avoir ^o, nous avons laiL varier / de —7- a zéro;

pour avoir •!>, nous ferons varier t de — à zéro : l'arc envisagé esl

donc décrit en faisant décroître s. A son point de départ — > puis-

(]ue C-r) est nj'galif (p. 207), l'angle 0 est croissant. Il en résulte que la variation totale de 0 sur cet arc est de même sens (|ue sa variation initiale, détail important si l'on se souvient que l'angle 0 peut alternativement croître et décroître. Observons

maintenant que, pour ce cas Co, notre point de départ lt=-^]

est un sommet à ravon maximum. Ainsi, quand on va d'un sommet à ravon maximum vers un sommet à rayon minimum contigu, la variation totale de l'angle polaire est du même sens qu'au début de l'arc. Voilà ce que nous trouvons pour le cas Co, celui où i' est supérieur à co.

Pour les autres cas C| et D, ceux où v est inférieur à w, les faits sont différents. L'angle 'h, qu'on peut supposer obtenu en faisant

varier l de -r- à — » est négatil". D'après (aS), s décroît ou croît

en sens inverse de t] l'arc est donc décrit avec des valeurs ôe s

toujours croissantes; d autre part, au début, la valeur de -j-estl-r-l >

quantité positive, et elle correspond à un ra yon maximum. Par conséquent, dans les cas C( et D, quand on va d'un sommet à ravon maximum vers un sommet à rayon minimum contigu, la variation totale de l'angle polaire est de sens opposé à celui de la variation de l'angle au début de l'arc.

Nous allons maintenant examiner les cas où le discriminant est négatif, et nous pouvons observer, dès à présent, que, pour ces

cas, les signes de (-jj et de p'ç sont les mêmes que dans les cas

C, et D; de plus, le maximum du rayon vecteur correspond aussi à ^ = o. Par conséquent, lorsque '} sera négatif, la conclusion sera la même que pour les cas C, et D; lorsque -]> sera positif, elle sera la même que pour le cas C2.

La dérivée de (]/ (27) est -(w'aP^ + '^'i;)- Quand v croît de zéro

à coj, cette dérivée est toujours croissante et sa dernière valeur est

rnAPiTHK v. — coiriie fi.xsTKji e im.\m: sors rnKSSioN normale. >. r5 '-:(o)'^C2-i-r^'.^). 1^'cnons If tlt''Vflo|)|)om<'nt (l. 1, |). \/\6)

±(e, to^ -^- r.co) = . + 4 2, (- ')^ 73^

Dans celle formule, on a

ilZM'

(0 et 0/ élanl un couple de demi-périodes primitives, et e, d«-signe po). Choisissons les demi-périodes primitives comme il suit (t. I, p. 2()9) :

(O = Wj , Oj' = 1 ( Wj (O2 ).

Nous avons alors, au lieu de 7, la quantité

ITt/wl— (Oi\ (ItOJj

e ^ - •' — fC S .

Pour ces cas du discriminant négatif, nous représenterons ici par q la quantité

ITTfOj

pour laquelle a été employée la notation r/' au Chapitre VIII du tome I (p. 269).

Dans la série ci-dessus, q doit donc être remplacé par i\/q- 13'autre part, pd) n'est autre que e^, puisque w = o).,. La formule s'écrit donc ainsi

JNous retrouvons ici une série envisagée déjà au tome I (p. 4^7)- Le premier membre est positif ou négatif, suivant que q est inférieur ou supérieur à 0,107653... (t. I, p. 287). Il en résulte

(3o) "^ — ^ < o, si 7 < o, 107653. . . ,

(Si) — — —. — *^ > o, si <7 > 0,107653

2l6 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

Dans le second eas (3i), la dérivée de <i> est toujours positive, comme pour les discriminants positifs. D'ailleurs la dernière valeur de 'l, pour v = o).^, est encore zéro, à cause de la relation Y.oto'., — ■/■/., (')j = i'^-- Donc 'l est négatif.

Dans le premier cas (3o), la dérivée de «l, d'abord positive, décroît toujours et devient négative. L'angle 6 croît d'abord depuis — oc; il finit par atteindre la valeur zéro en décroissant. Il a donc d'abord des valeurs négatives, suivies de valeurs positives.

On ne peut concjure immédiatement que <]> passe par la valeur ■/.éro aulreniont que pour ç^ too» puisque 'l est une fonction discontinue.

En premier lieu, •l passe eflectivcmont par zéro si la supposition r = ^(02 rend négative l'expression de cet angle

<|/ = ar — ".(w'2 tv — t-r/o ),

propre aux cas où r surpasse ftoo- Nous allons examiner sous quelle condition il en est ainsi.

Soit iv = too — r, on a

d'où l'on conclut

C (-' — , log j-i W H- r ,,

dw

(O2 ^'' — ^''Ul — — ^2 "7~ lOg J2"' -^ ""O2 -t- ■';2 W, — 1^2 W2

:= — to'^

i ' dw

(3^) tl = - ( eu', -,— lo-rcTi»' — irr', )•

Passons maintenant aux fonctions 'h suivant les formules du tome I (p. 269) en désignant, comme tout à l'heure, par i\jq la quantité qui remplace q. Il est à propos d'observer que ce choix, pour les fonctions 37, est ici naturellement indiqué, puisque cette ([uantité q est inférieure à o, 1076. . . (3o), et que ce choix s'impose, comme le plus avantageux, dès que q est inférieur à

e - = o, 'ioyS . . . (t. I, p. 2'j5). D'après les formules (59D)du

CIIAI'ITIU: Y. — COIKUK ÉLASTKJIE PLANE SOLS l'IlESSIOX NORMALE. -i I "

lomc 1 (p. '-^H)), nous aurons, au lieu de l'égalilé (■^?-), celle-ci irw ., ■ ^'i('''. ^Vv-' ^.' "■ '■''-'■

OU nous devons supposer r = -^j par conséquent

I Wï . , r — :

6 Wj

En substituant dans l'expression de la fonction Tj-, (t. I, p. aGO). nous avons

(n(/i-f-li / nain-\\ (/n-lli3/H-2i\

quantité positive. En elTcl, la fonction 'i-^^w ne devient pas nulle dans le champ que parcourt (v, sauf à l'extrémité de ce champ ((r=(.02)- I^lle conserve donc, dans ce champ, un signe invariable, et il en est de même pour la fonction (3i), qui en dillrre par un facteur positif.

Nous avons de même

(35) J '" ^Wq

La croissance rapide des exposants permet d'établir facilement (pie celte série est d'abord négative quand q est peu inférieur à la limite (3o), o, io-653 ....

La fonction devient positive quand rj devient inférieur à une limite qui, suivant un calcul fait avec les premiers termes, est environ 0,091.... En conclusion, si l'on a

0,091 . . . < 7 < o,io76j3. . . ,

•l est nul pour une valeur de r comprise entre |co.. et too- Si, au contraire, q est inférieur à 0,091. . ., à ne devient pas nul pour de

•.>l8 DEUXIÈME PARirE. — APPLICATIONS.

telles valeurs tic r. S'il en est ainsi, il faut maintenant considérer, pour •!/, l'expression précédente diminuée de t:, c'est-à-dire

, i y., ( y', i \lq )

' ^îl»-', i\/q)

Pour que '\j passe par la valeur zéro, il faudrait alors que cette dernière quantité fut positive quand on y supposerait (^ = 10)2, que, par conséquent, la série (35) eût une valeur supérieure à celle de la série (34), ce qui évidemment n'a pas lieu. Pour obtenir de ce fait une preuve rigoureuse, nous allons former un autre développement de l'angle 6, en nous servant de la série trigonométrique (t. I, p. 426)

-Sr

Changeant d'abord u en v - — > on obtient >.-^- (t. I, p. aai); niellant ensuite i\ q au lieu de q, on a

-^2(^r', is/q)

y 7'' sin?./?t' ■

Comme t' est purement imaginaire (33), nous lui substituons la quantité réelle, positive et inférieure à l'unité,

et nous avons, conformément à la formule (33),

J^e premier terme ^ est toujours inférieur à l'unilé, il est

diminué d'une série dont tous les termes sont positifs. On voit donc que •!/ est toujours moindre que t.. Mais c'est là l'expression de 'h quand on suppose v >> f Wo. Pour v '<|w2, '\ doit èlre encore diminué de t:, et c'est alors toujours une quantité négative.

CIIAPITRK V. — COURBE ÉI.ASTIQI K IM. VM- SOIS PRESSION NORMALE. 2 \ r)

Diverses formes de la courbe, le discriminant étant négatif.

Dans la discussion, nous coiisidcrcrons comme donné le rapport

des périodes ou la quantité y =^ e '■*' , et nous examinerons les diverses formes de la courbe en faisant varier v depuis (Oo juscpi'à zéro. Nous regarderons la longueur a comme une constante ; de sa grandeur dépend seidement la grandeur absolue, non la forme de la courbe.

Le cas que nous envisageons d'abord, et qui répond à r = o).,,

offre des particularités notables. Comme p'v est nul, -j- est nul

aussi ; la liaison entre 5 et ^ se trouve dépourvue de sens. Il faudra considérer ce cas comme une limite. On peut alors supposer a infiniment grand, p' v infiniment petit, de telle sorte que le produit ajj'c reste fini; mais alors l'expression (22) de x ± iy devient infinie. Celte supposition sera examinée plus loin ; elle conduit à la courbe élastique sans pression, où le centre des forces élastiques est rejeté à l'infini. Nous supposons actuellement, pour a, une longueur fixe. Alors p' i> étant infiniment petit, s varie infiniment peu avec t, tandis que, d'après la formule (11), on voit que le carré /'- du rayon vecteur reste aussi presque constant. La courbe est loin cependant de pouvoir être envisagée comme une circonférence de cercle. Tandis, en effet, que l'arc .ç,, compris entre deux sommets consécutifs, est infiniment petit, il présente une inflexion ; car on est ici dans le cas H (p. o.o;")).

Ln outre, la courbure (20) est partout infinie, sauf au voisinage de l'inflexion 5 elle l'est notamment aux extrémités de l'arc 5,, et il est à noter que l'on a

On peut même observer que, en deux points également distants et de part et d'autre d'un point d'inflexion, les courbures sont égales et de sens contraires.

Prenons, en efl'et, deux points dont les arguments soient

l> loL 1 • i~« • 1 II

± it. Innsque v = (Oo, ces deux aro:uments sont de la

(orme — (o, ± it (t. I, p. 'j.\). Ils donnent lieu à une seule cl

même valeur de la fonclion p, à deux valeurs égales et de signes contraires pour la fonction p'. Comme de plus p' v est nul, on obtient ainsi des valeurs de p dont le rapport est — i .

L'arc s, est donc infiniment petit et infiniment courbé : sa forme ne saurait être représentée par aucune figure. Mais on peut envisager cet arc comme la limite d'une figure obtenue en supposant r voisin de lo.,. Cette figure, suivant les valeurs de q, a deux formes très difi'érentes.

En premier lieu, nous savons que le maximum du rayon vecteur correspond à f r= o, et que l'on a (p. '206)

Soient ob, oa les rayons maximum et minimum contigus. En b la concavité est tournée vers l'origine o; en « c'est l'opposé.

i" Soit q ^ o, 107653 .... Nous savons (p. 216) que «L est négatif, c'est-à-dire que la variation totale de l'angle polaire sur l'arc 5) est de sens opposé à celui de la variation de cet an^le au début. La forme de l'arc Sy est donc celle d'un S, et la courbe entière offre un point double sur le rayon vecteur de chaque sommet. Cette forme est indiquée par la //^. i. Dans celte figure, comme dans les autres de la Planche, on a marqué par une grande flèche le sens de la pression normale en un point de l'arc. Cette pression est ici du côté de la convexité au sommet de rayon maximum (p. 206). On a figuré en plein l'arc ah limité aux points a et b

donnés par ^ = — et /= o. En supposant une verge limitée à ces

points et tenue en équilibre par des forces appliquées aux extrémités, on a tracé en a et b des flèches, dont le sens indique la direction de la réaction exercée par la verge. Ce sens est opposé à celui de la force extérieure qu'il faudrait appliquer pour maintenir l'équilibre. Cette force est perpendiculaire au rayon vecteur; elle est donc, aux sommets, tangente à la courbe; elle a pour mesure/)/' (p. 194)-

2" Soit </ ■< o,io-653. . .. Maintenant, <h est positif; la varialion totale de l'angle polaire est de même sens qu'au début b de I arc. La courbe présente l'aspect d'une roue dentée {^fig- 3).

TV 1 r /f/0\ /i/o,

IJans ces deux ligures, ( -7- ) et ( -^ ) ont un même signe, en

CCO

iZ

CIIAFMTUK V. — nOLUBE ÉLASTIQIE PLANE SOLS PRESSION NORMALE. 221

sorte (jiic ranylc 0 prrscnlc un inaxiimim ol un n)ininuini ou ne présente ni l'un ni Taulrc; en d'autres termes, il y a deux tanyenles, Issues de rorij;ine, ou bien il n'y en a aucune.

La forme de la première figure indique deux tangentes; c'est ce que le calcul vérifie sans peine. EfiTectivement, si l'on se reporte au Tableau du tome I (p. 84) indiquant la manière dont varie le rapport des périodes avec les invariants, on y voit que g^ est positif quand -,- est inférieur à l'unité, par conséquent q supérieur

à t'~" = o,o4>ii •••• C'est ce qui arrive pour la première figure où q est supj)osé supérieur à 0,107653.... En ce cas, comme ou

I a vu page 209, ^3 étant positif, on est assure que -j- s évanouit

deux fois.

Dans la fîg. 3, il y a deux tangentes issues de l'origine si q est entre les limites o, 107 . . . et o, o^S . . . . Il n'y en a plus, si q est inférieur à la limite e"'^ = o,o43. . . ; car alors (t. I, p. 84) ^3 est

negatil et 1 on a vu ( p. 210) que, dans ce cas, -r- ne s évanouit pas (juand V est voisin de too.

Examinant maintenant la suite des valeurs de r, nous allons obtenir les diverses formes en suivant les modifications des fîg. 1 et 3.

Soit, en premier lieu , ^ >> o, 1 0^653 .... Ce sera toujours, quel que soit v, la catégorie des courbes désignée par la lettre B (p. 200).

II V a toujours une inflexion sur l'arc S{. Tant que v reste supérieur à |w2> aucune modification essentielle n'est apportée à la fig. 1. Les proportions seulement s'y altèrent^ l'angle 6ort grandit constamment et le rayon minimum oa diminue relativement au rayon maximum ob.

Quand V atteint f '1)2, le sommet a coïncide avec l'origine o.

Quand V devient inférieur à fwo) la concavité au sommet a se tourne vers l'origine; en même temps, l'angle boa, en valeur absolue, augmente de ?:. C'est ce qu'on voit dans la /ig. 2. 11 n'y a plus qu'une seule tangente issue de l'origine.

Quand v continue à décroître jusqu'à zéro, la forme 2 se conserve dès lors. Toutefois, la valeur absolue de t|» croissant jusqu'à l'infini (p. 2i3), l'angle boa dépasse bientôt 2-, 4~, • • • et la boucle, dont a est le sommet, exécute une, deux, etc. circonvolutions

222 DEUXIÈJIE PARTIE. — APPLICATIONS.

autour de l'origine. On suppléera facilement aux figures qui n'ont pas été tracées pour ces modifications.

En second lieu, soit 0,091 ... <^ </ <^ o, 107653. ... La courbe conserve d'abord la forme 3, avec deux tangentes issues de l'origine; l'angle boa croît d'abord, puis décroît, puis devient nul (p. 21-) avant que r ail atteint la valeur f lOo. La courbe présente alors \d, Jig. 4. Pour les autres valeurs de r, on obtient ensuite les formes i et 2.

En troisième lieu, soit o,o43...<^ q <^ 0,091 — Ce cas présente, avec le précédent, celte différence que l'angle boa ne devient pas nul; le point a francliit l'origine sur le rayon oa quand l'angle 'i esl encore positif; de là vient la y?i,'-. 5. Cet angle boa est (p. 218 ) inférieur à tz; sa valeur absolue croît ensuite, atteint 7: et la courbe se ferme en 8, comme précédemment, mais l'origine est intérieure (A^. 6). La suite des autres valeurs de e donne lieu à des courbes qui ont la forme représentée par la /?^. 2.

Soit, en quatrième lieu, 0,00426. ..<< ^ <] 0,04321 .. ., c'està-dire ^ compris entre e~"^^ et e~", — r compris entre i et yj3^ par

conséquent (t. I, p. 84) gi <i o, ^o << o. Ce cas présente, avec Je dernier, cette seule différence que la. Jlg-, 3 n'offre pas d'abord de tangentes issues de l'origine ; mais ces deux tangentes apparaissent bientôt quand ç atteint l'argument b (p. 209), et les faits sont désormais conformes à ceux qui concernent le cas précédent.

Soit enfin ^ -< 0,00426 .. ., c'est-à-dire — r supérieur à ^^3, ou

(t. I, p. 84) ^3 < o, ^2 !> o. C'est alors que va se présenter le cas A (p. 2o5), où disparaissent les inflexions. Nous avons d'abord la Jig'. 3 (sans tangente issue de l'origine), jusqu'à ce que ç atteigne la valeur aoj^ — aro; le point d'inflexion se rapproche de j^lus en plus du sommet a.

Quand v atteint cette valeur 2Wj — m,,, la courbure est nulle en a. On a, en effet,

0)., = lu-, — w., — v^ ^= 2(«i — i'o ;

donc

— Wj 1 = j) IV = o,

• IIAIMTHi: V. — COURBE ÉLASTIQUE PI.ANE SOI S l'UKSSION KOUMALE. '22'6

|)iiis(jiic r„ est iiiic racine dr la loiiclioii p". Donc — =: o (p. :>.oj).

En ce j)oinl f/, (pii est un soinniol, l'ordre du conlacl avec la tangente n'est plus égal à u, comme en un point d'inflexion, mais égal à 3. La courbe est maintenant convexe, (^uand f devient moindre que '210., — 'i^'o, cette paiiioularilé disparaît, mais la courbe reste convexe {/ig. ")• Le sommet a se rapproche de l'origine, l'atteint pour e = ijtoj, puis la dépasse {/i g. 8). Au moment du passage,

l'angle boa est supérieur à -; il est d'autant {)lus grand que rj est

plus petit, et environ 0,72- pour q = 0,00^26 C'est ce qui

résulte de la formule (36). L'inilexion reparaît ensuite quand r dépasse 2m-> — 2^, (p. 2o5), et c'est vers le point a qu'elle reparaît, comme on le voit par le même raisonnement que précédemment. La courbe ne reprend pas cependant la. Jig\ 3; car l'angle •} est devenu négatif, en sorte que l'on retrouve la y?^. 5, puis, comme dans les cas précédents, \esfig. 6 et 2.

^ oici un tableau qui résume cette discussion. Les numéros des figures v sont cités dans Tordre où les formes correspondantes se présentent quand v décroît depuis oj^ jusqu'à zéro.

l''iKUi"CS.

gr > o, 107653

0,107653. ..> <jr > 0,091

o,ogi . . .> ^ > 0,004 '20

Diverses formes de la courbe, le discriminant étant positif.

Examinons d'abord la catégorie désignée par Co (p. 2o5), pour laquelle t' varie de oj à aco. L'arc 5, est limité par les rayons vec-

teui^s oa minimum et ob maximum, (jui correspondent a ii = — v\ u = — - -f- (1/. L'indice zéro se rapporte au point ((. l'Iudicc 1

V<ltXi.2

r>fw2

22^ DEUXIÈME PAUTIE. — APPLICATIONS.

se rapporte au point h. On a (p. 20())

(^0\ ^ /rfO\ j >o, si i><i<.o,

70 ( < o, si t» > -3 w.

La pression est du coté de la concavité (p. 206). 11 n'y a jamais plus d'une tangente issue de l'origine (p. 209). Quand on va de b vers a, la variation totale de l'angle polaire est de même sens cfu'au début de l'arc (p. 2i4)-

D'après ces résultats, on voit que, pour t'<<|oi, la courbe a l'aspect défini par la Ji'g. 9. Au début, quand v est infiniment voisin de (o, l'are ba est infiniment petit, infiniment courbé et à dislance presque constante de Torigine. Quand r = |co, le sommet a vient à l'origine; puis, p dépassant ^w, le sommet a franchit l'origine, la courbe présente l'aspect de ]2l Jig. 10. Dans la suite des valeurs croissantes de c, l'angle •}, toujours négatif, devient infini en valeur absolue et la boucle dont a est le sommet exécute autour de l'origine des circonvolutions de plus en plus nombreuses.

Passons maintenant aux cas C( et D, qu'on obtient successivement en faisant décroître v depuis oj jusqu'à la d'abord, puis depuis ia jusqu'à zéro. L'arc 5, est limité parles rayons vecteurs

oa maximum et oh minimum, qui correspondent à a = et

Pour le cas C|, on a (p. 206)

Po>o, p.>o, ^-

r/0 \ / dO

^"' [dS

La pression est du côté de la convexité (p. 206). H y a une tangente issue de l'origine. Quand on va de a vers b, la variation totale de l'angle polaire est de sens opposé à celui de la variation de l'angle au début. La courbe affecte la forme donnée par lay?^. 1 1 . L'arc ab, quand v est infiniment voisin de to, est infiniment petit, infiniment courbé, et les rayons vecteurs sont presque constants. Pour le cas D, le seul changement consiste en ce que pi est négatif. Au passage de v par la valeur 2«, naît une inflexion. Cette

inflexion naît au sommet b: car on a alors cx)'=a — to',

ciiAi'iiiti; V. — coLRni; èi.asiioii: plane sols pression noumali:. 9.20

|)"( — 0)' ) r-^ p"((t -+- w')> et a (t)' csL iMic racine de l;i foiiclioii

|)''(!. I, [>. loSi. La coiithc pri-scnlr raspccl de la //i'. 1 '.^ ; puis, i' diinimiant de plus en [)Ius, l'arc </^ exécute autour de l'oiii^ine <les circonvolutions de plus en [)lus nombreuses.

Kn résumé, les formes de la courbe, pour A ; o, se présentent dans l'ordre sui\ aiil :

Cl 2 a <; f < w y/.A'. 1 1 .

D o ^^v <C'ia //^'. I .'..

Les formes C, et D se continuent, mais il n\ a aucune déformation continue qui fasse passer de Co à C) ; car les formes (|ui (correspondent à r = 10 sont des formes limites qu'on ne peut représenter par un tracé.

Courbe' élastique sans pression, déduite de la précédente.

Supposons maintenant que, v tendant vers w (ou u)., si A < o ), y. soit infini, de telle sorte que ajVr ait une limite finie it, et qu'ainsi l'arc 5 ait un rapport fini U avec la variable t. La formule {'-'.2) donne pour x -- iy une quantité infinie, mais nous allons la d(''veloppcr comme il suit.

On a d'abord, en posant ç =^ oi -~ ■>. tr (l. I, [). 1 70),

■îr, ( -^ — i IV II j

— it - - ') w ] e '1

fl, par la formule de Taylor,

if - n'I

de telle sorte qu'il vient, si l'on se borne aux termes du premier IL i5

■ii6 DEUXIÈMi: l'.VRTlE. AIM'I.IC.VTIONS.

ordre par rapport à rinliniinrnl pclil s\\