I -+- 2 H' V, — ( a'it p (.0 — î "' ^ I -'- it

[1 est manifeste que les termes purement imaginaires, au seeond membre, contiennent le facteur w, dont le produit par a donne une quantité finie. Ainsi l'ordonnée jk reste finie; quant à l'abscisse, c'est la partie indépendante de t qui, dans son expression, devient seule infinie. Si donc Xo est l'abscisse d'un autre point arbitraire sur la couidje, x — Xo reste fini. La courbe a donc bien une limite finie; seul, le centre des forces élastiques s'est éloigné à l'infini dans la direction de l'axe des x. Si, dans la formule

I p a — p i> 1 pu — pv

ap i'

on suppose r =-• w, on obtient, en remplaçant a par

, , , , <^ / (ij . \ I 71 -r- 3 'r. IT 11

La partie réelle de !.( v it] est donc ■ ou - — -- ? et I on

en déduit

Oo étant le rayon de courbure qui répond à l'abscisse x^. Puisque

ciiAi'iriii: V. — COI ititi; i-lastioii: i'La.m: sols i'ui-ssio.n .nokmai.i:. .vi-

'JAV a une liiiiilc iiiiic, si l'on suppose r inji ninieiit voisin (T une demi-période et a in fini, de telle sorle (fiie ap'i' ail une lunile Jinie, la combe liniile a cette propriété (jiie la courbure en chaque point est une fonction linéaire de V abscisse.

C'est la délinilion trouvée (p. 195) pour la courbe élasticpie sans pi'cssinii. ()ii tle\ail s'v allcudrc, |)iiisqiie A, donné par la Ibrnuile (i3), est ici nul, comme, en elict, cela doit être d après la formule (2), quand la pression devient nulle.

La quantité -^j^ — n'est autre que ^ J) (') (l- I, p. ^\)\)\ t'n extrayant la racine carrée, nous pouvons |)rendre un signe arbitraire, car il importe peu ici de changer le sens des axes. Mettons

Nous avons, d'autre [)art,

a — lim a p'( oj — i w ) — ■>. a w p" eu. D'après ces égalités, l'expression de x — x^ devient

C'est aussi ce que l'on peut trouver par le moyen de l'expression (I i) pour /•-. I*]n edet, on voit que /• a pour partie |)rincipale

, Il fO ■ I ■ ••Il / If ■

a* -^ ', par suite, la [)artie piincipalc de i- -— ry^ est 7.y2j3 to. On en conclut (11, 20)

r — ro= = - — z.(^o — ^;= ^^-r- •

La dififérence /• — /•„ a pour liniile la difTérencc des abscisses; on retrouve ainsi la formule précédente.

La force élastique F, constante en tous points de la courbe, étant multipliée par x — x^, doit reproduire le moment fléchissant I']I ( )• On a donc

(38) Y =: ^~ J -lU M .

I)i:i"XlÈME PARTIE.

comme on robtionl aussi en prenant la limite de pr ^= 8El\r. Pour obtenir, en même temps, l'abscisse sous une nouvelle forme et l'ordonnée, emplo}ons la formule d'addition des arguments dans les fondions Z, à l'égard des arguments 7 -h if-, — it,

— ; elle nous donne

L'expression de o" + ij devient ainsi

p il — p

Pit — P-

\ uit j) w

2 u- r, — 4 "' ~ il — ' "'■

P il — P

En supposant que x^ réponde à ^ == o et remplaçant atv par son expression, on obtient

V'P ^-J pt7-

\ p il — P

-^fZit —

■1 it p oj \ .

Les formes de la courbe élastique sans pression se déduisent, sans nouvelle discussion, de celles qu'on a trouvées pour la courbe avec pression :

1q \^ o, 107653. . . . fig. I '>. déduile de la Jlg. i,

gr = o, 107653. .. . fig. 14, déduile de la yî^. 4i

q < 0,107633. .. . Jig. 1 3, déduite de la y?^. 3.

A ^ o Jîg. lO, déduite de la Jig. 9 ou 11.

CBAPITRK \ . — COinUK ÉLASTIQUE PLANE SOUS PRESSION NOn.MU.K. ^ >f)

Courbe élastique sans pression, trouvée directement.

Celait ici un cxorcicc iililt; cl naliirclleiiicnl iiidiqiH', clcdiiindes c(|ualious de la courbe gcncralc celles de la courbe ('laslicjuc sans pression. Le calcul direct n'offre aucune difficulté, mais donne lieu à une remarque importante.

En écrivant que la courbure est proportionnelle à l'abscisse et prenant convenablement l'orii^^ine des coordonnées, on obtient l"é(piation

d.v d-y dr d-.r , ^^

ds ds- ds ds- ' '

( io)

dr Multipliant, au\ deux membres, par -j- et tenant compte des

identités

/./• d-^.r dv d'-v /(f^\- ldy\^

ds ds- ' ds (/s- ' \ ds /

on en conclut

d'y xrj^d.r

ds- " ' ds

et, en intégrant.

dy ds

Y = t OJ--.

Léliminatiou de -;- conduit ainsi à l'équation ds '

d'où l'on voit que x est une fonction elliptique de s. Kn faisant l'inversion suivant les procédés donnés au tome 1, on rencontre cette circonstance particulière que le polynôme du quatrième degré est ici bicarré et qu'ainsi pV, d'après la formule (54) de la page I20 (t. I), est nul. L'argument v est donc une demi-période. On voit ainsi que l'expression (Sp) de x coïncide exactement avec celle que fournit le procédé général d'inversion, sous la seconde forme exposée au tome I (p. i3'î). si l'on en fait l'application à l'égalité ( i i)-

i)i:i xiKMi: p.vnni:. -- applications.

La courbe actuelle peut aussi être envisagée comme un cas parlicnlicr de la courbe élastique gauche, qui a été considérée à la lin (lu Chapitre 111. J'^ireclivemenl, supposons, dans les équations (lillVicnliellcs do la page }4'*i a r^ o ^^ o et )' --= o, puis mcttons-y la leltre r au lieu de z; ces équations se réduisent ainsi à la seule équation {f\o). Pour retrouver ici les ronnulos elliptiques qui peuvent se déduire des formules établies au (lliapitre IJI pour l'élastique gauche, t'Iiminons .r entre les équations ci-dessus. Nous trouvons ainsi

C'est bien l'équation obtenue au début du Chapitre III (p. 83) où

Ion suppose a =: o ==: o et où l'on remplace cosCZ par —-•

Le calcul direct peut donc conduire, pour la courbe élastique actuelle, à des formules elliptiques qui rentrent dans celles du Chapitre III, tout aussi bien qu'à des formules rentrant dans celles du présent Chapitre. Mais ces deux groupes de formules sont fort différents. On v remarquera en particulier que, dans les formules du Chapitre IIl, le discriminant des fonctions elliptiques est toujours positif; dans celles du Chapitre actuel, au contraire, il est positif ou négatif suivant les cas. Ces fonctions elliptiques, d'invariants difTérenls et dont les arguments varient proportionnellement à 1 arc de la courbe, c'est-à-dire proportionnellement entre eux, sont liées entre elles par des relations algébriques très simples. Elles nous offrent un premier exemple de faits a|>])artenant à la théorie générale de la Ivansformation.

Prisme droit chargé debout.

Soit une verge, naturellement droite, encastrée verticalement en l'une de ses extrémités a. L'autre extrémité «, supporte un poids P. Il n'y a pas en jeu d'autre force. On demande les formes d'équilibre.

Ces formes appartiennent à la courbe sans pression. L'équilibre exige que la force élastique F soit verticale et égale à P; de plus, à l'extrémité «i, où n'agit aucun couple, la courbure naturelle