CHAPITRE V. — COURBE ÉLASTIQUE PLANE SOUS PRESSION NORMALE. 9-3 I
(Joli cire conservée; à l'cxlrémilé a, la tangente doit être \orlicalc.
La courbure naturelle étant nulle, «, est un point d'inflexion. La tangente en a devant être parallèle à la force élastique, ce point a est un sommet.
Les formes d'équilibre appartiennent donc aux//^. i3, \f\, i5, qui correspondent au discriminant négatif. Dans les fig. i4 ou i5, la différence des paramètres /, pour les extrémités, est un quart de
période -- ; car les indexions sont également distantes de deux
sommets consécutifs (p. 219). Dans la Jig. i3, cette difïercncc
peut être (2/? H- 1 ».— ^' n étant un entier quelconque.
En écrivant que le jioids P est égal à la force élastique (38j, on a d'abord
a El ,— „-
La seconde équation s'obtient en exprimant que l'arc aa^ a la longueur l de la verge; on a donc (iS)
/ = ( 9. /t -h I) tt — ^ • •;•. i
En éliminant il, on oblicnL une condition qui fixe les éléments invariables des fonctions elliptiques à employer
Le radical doit naturellement être pris ici jiositil".
En désignant par c/ la même quantité qu'à la ])age 21 5.
et observant qu'on a on a, d'après (3^),
Il \ ient ainsi
P /- /^.fo'îN' ' /'-'-'"i ' V
(n-h\)^El
2û> DEUXIÈME PARTIE. - APPLICATIONS.
La dcmi-prriodo w., joue ici le rôle de co, en sorte que le second membre a pour expression celle de ( -^ tt ) où l'on lemplace cj
par i\ij. Donc (l. I, p. 45i)
(/i-t--î)-El7:î \i--'7 I- 7- I — 7-' i-r-( — </)/' /
Celte équation, où^ est l'inconnue, a manifestement une racine, et une seule, comprise entre zéro et l'unité, sous la condition nécessaire et suffisante que l'on ait
Si donc -^l/î^ est compris entre in 1 et a/î -f- 3, il existe.
pour la verge dont il s'agit, /î-f-i figures d'équilibre, outre la figure droite; elles correspondent aux fonctions elliptiques où q est la racine d'une des équations (42), dont le nombre total est n-^\. Si, au contraire, on a
-xl /T ^
il n'existe plus aucune de ces figures d'équilibre; la forme droite est seule possible. On en conclut que, si cette dernière condition est remplie, la verge ou prisme droit chargé debout est en équilibre stable.
(Toi);
On aurait pu tout aussi bien employer, au lieu de ^ r= e '^'- ,
la quantité e '"' , ce qui n'eût amené aucun changement dans les calculs. Le second membre (42) reste inaltéré si l'on y met, au lieu de q, la quantité r/^ liée à r/ par la relation
log- loR — = --.
Anneau comprimé normalement.
Un anneau circulaire est soumis, sur tout son périmètre, à une pression normale uniforme. On demande ses figures d'équilibre.
CUAriTIlE \ . — COIRIIK r^I.ASTiyrK PLAM', SOUS l'UKSSIO.N NOIIMALE. 2ù'y
Les conditions proprets à drlcrmincr les ('lémonls des formules sont les suivanles : i" la eoiiilx- doit èlre Icriin'c; :>." son prrimèlre doit être égal ù celui de l'anneau. 11 suflil de regarder Ie> ligures jiour s'assurer que les formes 3 el 7 sont seules possibles. On on conclu! (jue, j)our l'exislence de figures d'équilibre autres (jue la forme circulaire, il laiit (pie la pression soit extérieure; en second lieu, ces formes appartiennent à des courbes ovi le discriminant est négatif et où l'on a encore
La question, on le voit, ne concerne que les anneaux comprimés extérieurement. Quant au cas où la pression est intérieure, la théorie actuelie indique la stabilité d'équilibre quelle que soit la pression.
La condition (jue la courbe soit fermée exige que, [)artant d'un sommet <y, on v revienne quand le paramètre t croît constamment.
e paramètre f, étant zéro au début, est 9. /i-^ ]iour tout sommet
homologue à a. En même temps, l'angle des ra\ons vecteurs correspondant aux deux sommets est a /?'!/; ce doit être itz. Ainsi, la
première condition c'est que - soit l'inverse d'un nombre (Milier.
Comme on a c^- -ij-fOo, 6 est donné par la formule (3(i); ainsi la première ('qualion du prol^Ième est
les inconnues sont </ et ^
>-v --'-.Uh-v^
qv
o < <jr < I , ^ < V < I ;
Il est un entier positif arbitraire, au moins égal à :>. nécessairement, puisque le second membre est essentiellement inférieur à riinilé.
Soit p le rayon de l'anneau; son pi'rimètrc 27:0, d'après m.')). fou in il l'éiralité
a II e . 9, // — " •
.'..).| nELXifeME PAnilE. - - APri.ICATIONS.
On ;i. d'aulrt' |>arl (■:>.•. i3 ',
8 El -iOL^p'-v'
l-lii rliniinont a, (^onslantc arbitraire (l'iiomogéncilé, on ol)licnt
' ÂÂ)
t fliialion dont le second membre peut êlre exprimé en fonclion de ^ el </. On a ainsi les deux éqiialions (4^), (44) pour déterminer ces deux conslanles.
D'après (sj), on a
Mais, suivant l'expression de V en fonction de r (^p. v:8),
par conséquent,
(Iv (o., clS o)'.
i-^^Vv^
^'•Woj L(i-v)3 i-^yVv V .--ry^'v^ ; J
Soient <7, 6 les sommes des deux séries (43 i, (45 '• Si l'on suppose fj infiniment petit et V fini, on a
chaphiu. \. — corniti- f.i.ASTi(.tri: plane sols imikssion noumai.k. '.o.>
(1*011 rrsullc
Celle \al(Mir de //, en lonelioii de r/, est une valeur limilc; c'est aussi une liniile inlV-rieure, el nous allons nionlrer f|iie. it l'iaiil positif, on a loujours
Posant, en efTet, ^ =^ a', on déduit, des séries (43 i, i4-^^)'
cclle-ei
\ — { — rj)l' \ V/'
donl tous les termes sont positifs. On peut donc eoneliire
Mais la fonction : croît avec «/, tant que «'est inférieure ^.
Ici a' est inférieur à runilé. L'inégalité a donc lieu a fortioii si l'on remplace n' par a, (jui lui est infc-rieur. Cette substitution fournil l'inégalité demandée {^(V).
Le problème est donc impossible si l'on n'a pas
4/1^ Kl ' 4"
Voici une condition nécessaire ])Our qu'il existe des figures d'équilibre autres que la figure circulaire. Cette condition n'est pas satisfaite si l'on a
VA
On en conclut cpie la condition (48) assure la slabililé de Vv (piihbre.
>i<) DEUXIÈME PARTIE. APPLICATIONS,
Dans une élude j)lus a|)profondic, on doil se demander si l'inéi^alilé (47) assure l'existence de solutions pour les équations (43) et (44)- On trouvera, sur ce sujet, des détails complémentaires dans le Mémoire cité en tête de ce Chapitre. La condition (47) ne suKit pas et doit être complétée ainsi
(n — i)(:in — i)Cin ^ 1 ) > ^^ > n^ — 1 .
Mais nous passons ces détails, dont la reproduction nous entraînerait hors des limites de cet Onvraiie.
CHAIMTIti: VI. — LIGNES GÉODÉSIQUES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. .iSy
